구의 뒤집기
구의 뒤집기
2004년 12월 7일
3페이지
기본적인 재난들
이전에 언급했듯이, 우리가 고려하는 임베딩은 자가교차 집합이 존재할 경우, 그 집합을 따라 접선 평면들이 서로 구분되도록 되어 있다. 이 경우, 네 가지 기본적인 재난을 통해 한 임베딩에서 다른 임베딩으로 전환할 수 있다. 모린은 이 재난들에 이름을 붙였으며, 아래 그림에 나타나 있다. 첫 번째 재난은 닫힌 곡선의 생성(또는 그 반대, 소멸)을 초래한다. 이는 씻는 욕조의 물에 팔꿈치를 담그며 온도를 확인할 때 일어나는 일이다(왼쪽). 그림 a4: 표면들이 한 점에서 접촉하고 있다. a5에서는 자가교차 곡선이 생성되었다. 본문에서 이 과정을 '팔꿈치 재난'이라 부르기로 하겠다.
'팔꿈치 재난': 닫힌 곡선의 생성 및 소멸
두 번째 재난은 '망고 조각' 재난이다:
'망고 조각'의 생성 및 소멸을 일으키는 재난
왼쪽에서 오른쪽으로 이 그림을 살펴보면, 포물선형 원기둥이 이면각에 접근하는 모습을 볼 수 있다. 자가교차 집합은 서로 분리된 두 개의 포물선형 곡선과 더불어 명백히 이면각의 모서리로 구성된다. 가운데 그림에서는 이면각의 모서리가 원기둥의 생성선 중 하나와 접촉하고 있다. 이 모서리는 해당 점에서 원기둥에 접한다. 자가교차 집합은 서로 한 점에서 접하는 두 개의 포물선형 곡선과 이면각의 모서리로 이루어진다. 오른쪽 그림에서는 포물선형 원기둥이 계속 움직였다. 자가교차 곡선이 변화했다. 이 곡선은 이면각의 모서리와, 모서리 위 두 점에서 서로 교차하는 포물선형 곡선으로 구성된다. 반대로, 포물선형 원기둥은 정지해 있고, 두 '자르는 평면'이 움직이는 것으로 볼 수도 있다. 오른쪽 그림은 마치 두 번의 도끼질이나 saw로 자르는 것처럼 보인다. 조각된 나무 조각도 함께 표시되어 있다. 모린은 이를 '망고 조각'에 비유했으며, 매우 생생한 비유였다.
세 번째 재난은 '바지 재난'이다.
'바지 재난'
그림은 충분히 설명력이 있다. 왼쪽에서 오른쪽으로 바지를 물속에 내리며, 왼쪽에서는 새가 바지 사이를 지나가지만 물고기는 한쪽 다리 안에 갇혀 있다. 오른쪽에서는 물고기는 통과하지만, 새가 지나갔던 통로는 사라졌다. 가운데는 중간 상태이다. 중요한 것은 교차 곡선의 국소적 변화이며, 이는 '수술' 또는 곡선의 호를 재연결하는 변화를 의미한다. 이 변환은 구의 뒤집기의 호모토피에서 가장 어렵고, 잘 보이지 않는 부분이므로, 잘 이해하도록 노력해야 한다. 이 재난은 한 방향의 통로를 닫는 동시에 수직 방향에 새로운 통로를 여는 점을 꼭 기억하라.
네 번째이자 마지막 재난은 '사면체의 역전'이다:
사면체를 역전시키는 재난
자기교차 곡선은 사면체의 네 변을 연장한 네 개의 '선'으로 이루어진다. 왼쪽 그림에서는 사면체를 분리하여, 회색 면이 바깥을 향하도록 보여주고 있다. 오른쪽에서는 반대이다: 면이 분홍색이다. 가운데는 중간 상태이며, 사면체는 점 Q(네 개의 겹쳐진 면이 만나는 점)로 줄어든다.
이 네 가지 재난을 이용하여, 연속적인 횡단 임베딩의 연속적 절차를 통해 구를 뒤집어보자. 이 변형은 시각 장애인 수학자 베르나르 모린이 고안한 것이다. 우리가 만난 것은 이야기할 가치가 있다. 어느 날, 문과대학의 기술직 직원이 수학 강연을 할 강연자에게 나의 그림 그리는 능력을 도움을 요청했다. 나는 전혀 의심 없이 그 자리에 갔다. 나는 공간에서 물체를 보는 데 능숙했고, 고등 수학 수업에서 기하학적 묘사 문제를 다룰 때, 선생님이 문제를 제시하는 동안 나는 교차선을 그렸고, 동시에 원근법을 사용한 시각화도 제공했다. 그러나 이번에는 상황이 달라졌다.
나는 위의 그림을 그리는 데 전혀 어려움이 없었다. 그러나 구를 뒤집는 과정을 포함하는 도식에 이 그림들을 통합해야 할 때, 서로 뒤엉킨 여러 겹의 표면들 앞에서 나는 완전히 혼란에 빠졌다. 매우 당황한 나는, 시력이 없음에도 불구하고 이 형태의 전개 속에서 나보다 더 편안한 느낌을 주는 그 이상한 사람을 다시 찾아갔다. 이후 나는 몇 달 동안 그의 수업을 들었다. 대화는 매우 복잡했다. 그는 말 외에 다른 수단이 없었고, 나는 그의 설명을 듣거나, 집에 돌아와 만든 모형을 그의 손에 넘겨주거나, 이후 바로 현장에서 모형을 만들 수 있었다. 이 대화를 녹음했더라면, 정말 초현실적인 대화였을 것이다. 예를 들어:
- 두 개의 곡선이 달걀 풀기용 휘젓는 도구처럼 서로 만나도록 상상해 보아라.
이 사람의 성격이 어려웠음에도 불구하고, 그 만남은 나에게 잊을 수 없는 추억이 되었다. 결국 나는 그의 수업 전에 예방 차원에서 두 알의 아스피린을 먹는 습관을 들였다. 그의 성격은 그의 아내가 붙인 별명으로 요약할 수 있다: '행운의 번개'. 이는 에르게의 만화 '틴틴: 티베트로'에 등장하는 인물이다. 모린의 복수심은 전설적이며, 돌이킬 수 없을 정도였다. 그는 죽은 일부 적들을 언급할 때, 이렇게 말하기도 했다:
- 가끔 그들에게 죽은 뒤에도 작은 저주를 보내곤 한다. 만약 그것이 그들에게 해를 끼치지 않더라도, 최소한 도움이 되지는 못할 것이다.
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