수학적 카타스트로피를 이용한 구의 뒤집기
구의 뒤집기
2004년 12월 8일
4페이지
베르나르 모린의 버전
1979년 B. 모린과 J.P. 페티의 논문을 PDF로 다운로드하려면 다음 링크를 클릭하세요. (Pour la Science에 게재됨)
구의 뒤집기 (2.8MB)
처음에는 회색 면이 바깥쪽을 향하고 분홍 면이 안쪽을 향한 구를 가정합니다. b와 c에서는 두 극이 접촉되도록 만듭니다. 그 후, 두 겹이 "팔꿈치 카타스트로피"를 통해 서로 겹쳐집니다. 이 과정에서 닫힌 자기 교차 곡선이 생성됩니다. 아래 오른쪽에는 세 개의 반단면을 통해 얻어진 구조를 더 잘 이해할 수 있도록 도와줍니다. 이 시점에서 구는 "공기정"과 같은 원형 구조로 보이며, 이 구조는 이중 벽을 가진 "줄무늬"와 "바닥"을 갖습니다.
첫 번째 단계: "팔꿈치 카타스트로피". 자기 교차 닫힌 곡선 생성
두 번째 작업: 새로운 "팔꿈치 카타스트로피"를 통해 두 번째 닫힌 곡선을 생성합니다.
두 번째 자기 교차 닫힌 곡선 생성
이 과정에서 "공기정"이 비틀림 운동을 하며 접히면서, 반대편에 있는 두 부분의 "줄무늬"가 접촉하게 됩니다. 다음 그림은 두 카타스트로피를 거쳐 "귤 조각"이 생성된 결과입니다.
두 개의 "귤 조각" 생성 후
왼쪽에서는 모델에 절단을 가했습니다. 중심부에서는 두 원통형 구조가 서로 겹쳐진 모습을 보여주며, 이 구조의 단면은 그리스 문자 '감마'와 유사합니다. 기억하십시오. "귤 조각"을 생성하는 카타스트로피는 두 평면이 이면각을 이루며 "나무통"을 자르는 방식이었습니다. 각각의 원통형 구조는 둥근 단면과 이면각을 동시에 포함하고 있습니다. 그림 i를 자세히 살펴보세요. j에서는 자기 교차 전체 구조를 그렸습니다. 가장 큰 닫힌 곡선은 처음 "팔꿈치 카타스트로피"를 통해 구가 "공기정"으로 변환되었을 때 생긴 것입니다. 두 개의 "귤 조각"이 생성된 후에는 더 복잡한 구조가 되었으며, j는 그 중 일부입니다. j"에서는 이 구조가 정사면체의 서로 인접하지 않은 두 모서리 위에 두 개의 "귤 조각"이 조합된 것과 비슷하다는 것을 알 수 있습니다.
앞으로 애니메이션을 만들어 낼 수 있게 되면, 이 모든 내용이 훨씬 더 쉽게 이해될 것입니다. 기술적으로는 전혀 문제가 없습니다. 단지 시간 문제일 뿐입니다. 공간을 직접 보는 것, 즉 선, 점선, 색상, 그림자, 반사 등을 이용한 표현을 읽고, 그에 따라 상상 속에서 움직임을 연속적으로 상상해내는 능력을 가진 사람은 매우 드뭅니다. 언젠가 이 모든 일을 할 시간이 생기기를 바랍니다. 참고로, 저는 이미 크로스캡을 보이 표면으로 변환하는 방법을 보여주기 위해 다각형 모델을 사용한 바 있습니다. 이것이 미래입니다. 그러나 이러한 모델은 창조되어야 합니다. 아래에서는 베르나르 모린이 고안한 이 변환의 중심 모델을 다각형 형태로 최적화한 버전과, 자르기만으로 직접 만들 수 있는 방법을 소개합니다.
왜 저는 이 주제를 더 깊이 파고들지 않았을까요? 아마도 "전망이 없었기 때문"일 것입니다. 수학 전문지 중에서 이런 연구를 게재할 곳이 없습니다. 1975년부터 1978년까지 우리는 파리 과학 아카데미의 Comptes Rendus에 몇 편의 짧은 보고서를 게재할 수 있었지만, 아마도 그 내용은 거의 누구도 읽지 않았을 것입니다. 그때는 아카데미의 회원이었던 앙드레 리크네로비츠가 이 연구에 개인적으로 관심을 가져주었기 때문이었습니다. 그러나 그는 이미 사망했습니다. 이 연구는 1975년에 이미 완성되었기 때문에, 제가 그려놓은 그림을 기반으로 애니메이션 영화를 제작하는 것이 바람직했을 것입니다. 저는 애니메이션 작업을 해본 경험이 있으므로, 이 프로젝트를 성공적으로 이끌 수 있었을 것입니다. 그러나 CNRS에서 자금을 확보하는 것이 불가능했고, 결국 미국 수학자 네이선 맥스가 제가 만든 모형과 동료 찰스 푸의 모형을 참고하여 강력한 컴퓨터를 사용해 처음으로 영화를 제작했습니다. 그러나 이것은 제가 처음이자 마지막이 아닙니다. 프랑스인들이 노력한 결과에 대해 아무런 반응도 받지 못한 채, 더 잘 조직되고 더 잘 지원받는 외국 동료들이 앞서 나가는 경우는 흔한 일입니다.
이제 세 번째 단계, 가장 이해하기 어려운 단계로 넘어갑니다.
두 개의 "바지 카타스트로피" 준비
그림 k에서는 "바지 다리" 두 개가 명확히 구분됩니다. 그 세부 내용은 앞부분의 k'에 나와 있습니다. 흰 화살표는 "다리 사이"를 통과하는 경로를 나타냅니다. 이 변환은 정말로 이해하기 어렵습니다. 더 잘 설명하기 위해 그림 m을 추가했습니다. l에서는 점선으로 자기 교차 곡선을 표현했으며, 전체 곡선은 l'에 나와 있습니다. 화살표가 가리키는 경로가 닫히게 됩니다. 이 닫힘 운동은 곡선의 일부가 두 곳에서 올라가면서 발생합니다. 이 곡선의 끝부분은 각각 "귤 조각"에 속하는 선 위에 접촉하게 됩니다. 접촉이 이루어지면 수술이 이루어집니다. 어려운 점은 이전 페이지에서 네 가지 기본 카타스트로피를 보았을 때, 목을 뒤틀며 모든 각도에서 그들을 변환할 수 있어야 한다는 점입니다. n에서는 수술이 이루어지는 비상적인 순간 (변환의 "중간 상태")을 나타내며, 곡선 끝부분의 연결 방식이 바뀌는 시점입니다. 이 "바지 카타스트로피"는 "한 경로를 닫고 다른 경로를 여는" 특성을 가집니다. 초기 경로는 흰 화살표로 표시되어 있습니다. 그러나 수직축을 중심으로 모델을 180도 회전하면 같은 각도에서 다른 경로를 볼 수 있습니다. 이 두 화살표는 사실 하나의 경로입니다. 이 카타스트로피가 일어나기 전까지는 "접힌 공기정" 안을 자유롭게 이동할 수 있습니다. 그러나 카타스트로피가 완료되면 그 경로는 더 이상 사용할 수 없게 됩니다. 대신 두 개의 새로운 경로가 생깁니다. 그런데 그 경로는 어디에 있으며, 어떤 공간 부분이 관련되는 것일까요? 이 경로들은 "귤 조각"의 내부와 외부를 연결하게 됩니다. l'에서는 "귤 조각"이 보입니다. 다음 단계로 넘어갑니다.
경로 닫기. 이중 비상 상태로
o에서는 두 개의 "바지 카타스트로피"를 두 단계로 표현했습니다. 한 경로는 완전히 닫혔습니다. 이는 비상 상태이며, 곡선의 연결 방식이 바뀌기 직전의 순간입니다. 오른쪽(그림 o'의 세부 내용)에서는 경로가 닫히는 중입니다. 따라서 곡선의 자기 교차 모습 o"은 오른쪽과 왼쪽에서 다릅니다. p, p', p"에서는 양쪽 모두에서 비상 상태(변환의 "중간 상태")에 도달했습니다. 다음 페이지의 그림에서는 수술이 완료된 상태입니다. 그림 p"에서 보여진 "귤 조각"과 외부를 연결하는 관들이 이제 완성되었습니다:
두 개의 "바지 카타스트로피"가 완료됨. 경로(흰 화살표)가 열림.
이제 모델의 아래부분을 다뤄야 합니다. 그 세부 내용은 r에 나와 있습니다. 이 표면 부분을 자세히 살펴보세요. 우리는 서로 수직 방향으로 향하는 두 개의 포물선형 원통이 교차하는 모습을 볼 수 있습니다. r의 아래쪽에는 독자에게 맞는 통로가 있습니다. 이제 이 두 원통을 서로 미끄러뜨려보겠습니다. 그러면 이 통로가 닫히고, 수직 방향(좌우 방향)으로 새로운 통로가 열립니다. 여기서 우리는 또 다른 "바지 카타스트로피"를 발견합니다. 만약 이 포물선형 원통의 부분이 수직으로 미끄러진다면, 다시 한번 비상 상태에 도달하게 되며, 겹쳐진 부분의 연결 방식이 바뀝니다. 그러나 단순히 자원 절약을 위해, 독자에게 맞는 통로가 닫힐 때, 수직 방향의 통로가 아직 열리지 않은 상태에서 프로세스를 중단하겠습니다. 그렇게 해봅시다.
새로운 "바지 카타스트로피" 시작, L자 형태로 시작, 비상 상태에서 정지
L자 형태로, 바깥쪽이 분홍색을 향한 원통을 위로 밀어 올립니다. c'에서는 이 움직임이 자기 교차 구조 전체에 미치는 영향을 보여줍니다. 곡선의 부분들이 서로 가까워지기 시작합니다. 비상 상태에 도달하면 이 부분은 그림에 나타난 "계란 털기용 휘어진 끈"과 비슷한 모습을 띠게 됩니다. 오른쪽의 그림 t, t', t"에서는 비상 상태에 도달했음을 나타냅니다. 즉, 카타스트로피의 "중간 순간"입니다. t"에서는 아래부분이 계란 털기용 끈과 일치하는 자기 교차 구조 전체 모습을 보여줍니다. t'는 작은 사면체 형태의 부피를 나타냅니다. t'''에서는 네 겹이 교차하는 모습을 보여줍니다.
약을 한 알 먹고 쉬세요.
이 구의 뒤집기 버전에서는 모든 변환과 카타스트로피가 완전히 끝나야 합니다. 그러나 방금 언급한 카타스트로피는 중간 상태에서 정지시킵니다. 그 후, 아직 사용하지 않은 카타스트로피를 시작합니다: 정사면체를 뒤집는 카타스트로피. 그러나 이 역시 중간 상태에서 멈추며, 정사면체가 점으로 줄어들었을 때 멈춥니다. 해봅시다!
마지막 카타스트로피: 중간 상태에서 정지. 정사면체가 점 Q로 줄어들었을 때
t'''에서는 네 겹이 교차하는 구조를 보여주며, 자기 교차 구조 안에 정사면체 형태의 부피가 포함되어 있습니다. u"에서는 이 정사면체가 점(네 겹이 교차하므로 사중점)으로 줄어들었습니다. 왼쪽에는 "모린의 네 귀 모델"이 구성되었습니다. 앞부분에는 자기 교차 구조가 있으며, 아래에는 "계란 털기용 끈", 위에는 "토끼 귀"를 연상시키는 네 개의 끈이 있습니다. 약간의 표면 변형을 통해 새로운 카타스트로피 없이 오른쪽으로 전환하면, 모린의 네 귀 중심 모델에 도달합니다. 이 모델은 4차 대칭을 가집니다. 수직 대칭축을 중심으로 90도 회전하면, 색상이 바뀐 동일한 그림을 얻을 수 있습니다. 회색이 분홍색으로, 분홍색이 회색으로 바뀝니다. 이제 작업이 끝났다고 말할 수 있습니다. 왜냐하면 완전한 호모토피를 그리려면, 애니메이션을 이용해 이 중심 모델을 90도 회전하면 되기 때문입니다. 그런 다음, 우리가 그려온 모든 그림을 색상을 바꿔 뒤에서부터 다시 그릴 수 있습니다. 결국, 구가 바깥쪽으로 분홍색을 향하게 만드는 잠김 상태를 얻을 수 있습니다. 그러나 수학은 게으름이나 효율성의 교과서입니다. 우리가 4차 대칭을 가진 객체에 도달했으므로, 이 정도에서 멈추고 작업이 완료되었다고 말할 수 있습니다.
다음 페이지에서는 모린의 중심 모델을 가능한 한 자세히 설명했습니다. "닫힌 귀"를 가진 모델도 존재하며, 저는 다른 아카데미 보고서에서 설명했지만, 여기서는 생략하겠습니다.
네 귀 중심 모델의 자세한 설명
이후 저는 네 귀 중심 모델의 다각형 표현을 발견했습니다. 사실 이 모델은 "위"나 "아래"가 없습니다. 그리기와 애니메이션의 편의를 위해(저는 80년대 초반에 개발한 컴퓨터 도움 설계 소프트웨어로 이 이미지를 만들었습니다), 다음 애니메이션 GIF는 점이 두 번 겹치는 부분을 위로 향하게 보여줍니다. 사중점도 보입니다:
저의 다각형 버전의 네 귀 모델
자르기용 자료 (인쇄 후 두꺼운 종이 4장에 복사, 두 색상 사용)
초기 애니메이션에서는 위 그림과 반대 방향으로 보였습니다. 따라서 "위에서 본" 모습은 감마 모양의 십자가와 비슷했으며, 전체적으로 어떤 "극우 신나치 문화관"을 연상시켰습니다. 저는 극우 건축가들에게 나쁜 생각을 주고 싶지 않아 모델을 뒤집었습니다. 여기 클릭하면 이 모델을 직접 조립하는 방법에 대한 모든 설명을 얻을 수 있습니다. 마지막으로 이 모델의 몇 가지 모습을 보여줍니다.
구의 뒤집기 이야기를 마무리하며, 정말로 진실이지만 놀라운 일화를 하나 소개하겠습니다. 이 변환이 알려진 사람이 아주 소수였던 시절, 한 후원자가 "충분히 명확한 모델을 만드는 사람"에게 100만 달러의 상금을 제시했습니다. 버클리에서 수학자 찰스 푸는 이 작업에 매달려 완성했습니다. 그는 이 돈으로 집을 구입했습니다. 이 모델은 닭장 울타리로 만들어졌으며, 각각 1미터 이상의 지름을 가졌습니다(푸는 놀라운 솜씨로 구조물의 메쉬를 자르고 다시 연결하여 자기 교차를 가능하게 했습니다). 이 모델들은 수년간 버클리 대학 수학과 식당 천장에 걸려 있었습니다. 그러나 어느 날 밤, 도난당해 다시는 찾을 수 없었습니다. 누구에게 도난당했는지 알 수 없었습니다. 이 모델은 루브르 미술관의 '모나리자'보다도 판매가 어려웠을 것입니다. 아마도 누군가가 비밀 지하실에 숨겨두고, 매일 밤 내려가서 "내가 유일하게 볼 수 있는 사람이다"라고 기뻐하고 있을지도 모릅니다.
또 다른 일화는 보이 표면에 관한 것입니다. 저는 처음으로 이 표면의 적도선을 발견했으며, 이 곡선들이 타원의 집합임을 밝혀냈습니다. 이 작업은 제가 만든 금속 모델을 바탕으로 완전히 경험적으로 수행되었습니다. 당시 물리학을 공부하던 수학자 장-마리 수리오의 아들, 제롬은 아버지의 애플 II 컴퓨터를 사용해 이 물체에 대한 최초의 매개변수 표현을 만들었습니다. 즉,
X = X(α, μ)
Y = Y(α, μ)
Z = Z(α, μ)
Dreamweaver에서 Symbol 글꼴을 포함시키는 방법을 모르겠습니다. 그리스 문자를 HTML 페이지에 넣을 수 있도록 도와주실 분 계신가요?
10줄의 BASIC 프로그램으로 1981년 처음으로 보이 표면의 "선형 이미지"를 화면에 나타낼 수 있었습니다. 만약 어떤 웹사이트에서 이 물체의 합성 이미지를 찾는다면, 그 모든 이미지는 제가 과학 아카데미에 게재한 이 연구(1981년 10월 5일, 제 293권, 1호, pp. 269-272)에서 유래한 것입니다. 이 연구는 J.P. 페티와 J. 수리오가 공동으로 기고했기 때문에, 읽는 사람들은 J. 수리오가 잘 알려진 수학자라고 생각합니다. 그러나 사실은 그의 아들 제롬이며, 물리학 학위를 취득하지 못하고 정보기술자로 일하게 되었습니다. 이 이미지가 합성된 것들이 대부분 폴리테크닉의 콜로나가 만든 것이며, 우리가 발견한 방정식을 기반으로 하고 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이 작업은 더 완성되어야 했고, 완성되지 않은 작업으로 인해 표면의 극 근처에 다소 보기 싫은 주름이 세 개 존재합니다. 이 "선형 표현"을 만드는 프로그램은 다음과 같습니다.
**
프로그램 (Topologicon에서 발췌함) :
마지막 일화는 더욱 놀랍습니다. 약 20년 전, 저는 해저 탐사에 참여했으며, 수중 다이버 자크 마욜과 함께 바하마 남부를 탐사했습니다. 목적은 찰스 베르리츠의 유명한 책 '버뮤다 삼각지대'에서 언급된 '침몰한 피라미드'를 찾는 것이었습니다. 정확히 말하면, 이 피라미드는 캐이 살 은하의 남쪽, 플로리다와 쿠바 사이에 위치해야 했습니다. 이 지역은 고래 상어가 많아 매우 위험했습니다. 그러나 연구에서는 때로는 위험을 감수