수학적 재앙의 구체 뒤집기
구체의 뒤집기
2004년 12월 8일
4페이지
베르나르 모린의 버전
1979년 B. 모린과 J.P. 페티의 논문을 PDF로 다운로드하려면 다음 링크를 클릭하세요. (Pour la Science에 게재됨)
구체의 뒤집기 (2.8MB)
처음에는 회색 면이 바깥쪽을 향하고 분홍 면이 안쪽을 향한 구체를 시작합니다. b와 c에서는 두 극이 서로 접촉하게 됩니다. 그 후, 겹쳐진 면들이 "팔꿈치 재앙"에 의해 서로 뒤섞입니다. 이 과정에서 닫힌 자기 교차 곡선이 생성됩니다. 아래 오른쪽에는 세 개의 반단면을 통해 얻어진 구조를 더 잘 이해할 수 있도록 도와줍니다. 이 시점에서 구체는 "고무 보트"처럼 생긴 원형 구조로, 이중 벽을 가진 "줄무늬"와 "바닥"을 갖게 됩니다.
첫 번째 단계: "팔꿈치 재앙" 생성. 자기 교차 곡선의 형성
두 번째 작업: 새로운 "팔꿈치 재앙"을 통해 두 번째 닫힌 자기 교차 곡선을 생성합니다.
두 번째 자기 교차 곡선의 생성
이 과정에서 "고무 보트"가 비틀림 운동을 하며 접히면서, 서로 반대편에 있는 "줄무늬"의 두 부분이 접촉하게 됩니다. 다음 그림은 두 번의 재앙이 발생하여 "귤 조각"이 만들어진 결과입니다.
두 개의 "귤 조각" 생성 후
왼쪽에서는 모델에 절단을 가했습니다. 중심부에서는 지역적으로 "감마" 모양을 이루는 두 원통형 구조가 서로 겹쳐진 모습을 보여줍니다. "귤 조각"을 생성하는 재앙은 두 평면이 이각을 이루며 "나무단면"을 자르는 방식으로 이루어졌음을 기억하세요. 각각의 "감마" 모양을 가진 원통형 구조는 둥근 단면과 이각을 동시에 포함하고 있습니다. 그림 i를 자세히 관찰해 보세요. j에서는 자기 교차의 전체 구조를 그렸습니다. 가장 큰 닫힌 곡선은 처음 "팔꿈치 재앙"을 통해 구체가 "고무 보트"로 변환되었을 때 생긴 것입니다. 두 개의 "귤 조각"이 생성된 후에는 더 복잡한 구조가 만들어지며, 이 구조의 일부가 j입니다. j"에서는 이 구조가 정사면체의 서로 인접하지 않은 두 모서리 위에 두 개의 "귤 조각"이 조합된 것과 유사하다는 것을 알 수 있습니다.
앞으로 애니메이션을 제작할 수 있게 되면 이 모든 내용이 훨씬 더 쉽게 이해될 것입니다. 기술적으로는 전혀 문제되지 않습니다. 단지 시간 문제일 뿐입니다. 공간을 직접 보는 것, 즉 선, 점선, 색상, 그림자, 반사 등을 활용한 표현을 읽고, 그 움직임을 상상하며 변환 과정을 머릿속에서 연결하는 능력을 가진 사람은 매우 드뭅니다. 언젠가는 이 모든 일을 할 시간이 생기기를 바랍니다. 참고로, 이와 같은 모델은 다면체 모델을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 크로스캡을 보이 표면으로 변환하는 방법을 보여줄 때 제가 사용했던 방식이 그 예입니다. 이것이 미래입니다. 그러나 이러한 모델들은 창조되어야 합니다. 아래에서는 베르나르 모린이 상상한 이 변환의 중심 모델을 다면체 형태로 최적화한 버전과, 자르기만으로 직접 만들 수 있는 방법을 소개합니다.
왜 저는 이 작업을 더 깊이 파고들지 않았을까요? 아마도 "전망이 없었기 때문"일 것입니다. 수학 전문 저널 중에서 이런 연구를 게재할 곳이 없습니다. 1975년부터 1978년까지 파리 과학 아카데미의 Comptes Rendus에 몇 편의 짧은 보고서를 게재할 수 있었지만, 아마도 그 내용은 거의 누구도 읽지 않았을 것입니다. 그러나 그때는 아카데미의 회원이었던 앙드레 리크네로비치가 이 연구에 개인적으로 관심을 가져주었기 때문이었습니다. 지금은 그분이 돌아가셨습니다. 1975년에 이미 이 연구는 완전히 마무리되었기 때문에, 제가 그려놓은 그림을 바탕으로 애니메이션 영화를 제작하는 것이 바람직했을 것입니다. 제가 애니메이션 분야에서 일한 경험이 있었기 때문에 이 일을 성공적으로 이끌 수 있었을 것입니다. 그러나 CNRS에서 자금을 확보하는 것이 불가능했고, 결국 미국 수학자 넬슨 맥스가 제 동료인 캐럴스 푸의 모형을 참고하여 강력한 컴퓨터를 이용해 세계 최초의 애니메이션 영화를 제작했습니다. 그러나 이는 제가 처음이자 마지막이 아닙니다. 프랑스인들이 자신의 노력에 아무런 반응도 받지 못한 채, 더 체계적이고 더 잘 지원받는 외국 동료들에게 뒤처지는 사례가 여러 번 있었던 것입니다.
이제 세 번째 단계, 가장 이해하기 어려운 단계로 넘어갑니다.
두 개의 "바지 재앙" 준비
그림 k에서는 "바지 다리"의 두 끝이 명확히 구분됩니다. 그 세부 내용은 앞에 위치한 k'에 나와 있습니다. 흰 화살표는 "다리 사이"를 지나가는 경로를 나타냅니다. 이 변환은 정말 이해하기 어렵습니다. 더 잘 설명하기 위해 그림 m을 추가했습니다. l에서는 점선으로 자기 교차 곡선을 나타냈으며, 전체 곡선은 l'에 표시되어 있습니다. 화살표가 가리키는 경로는 닫히게 됩니다. 이 닫힘 운동은 곡선의 일부가 두 지점에서 올라가면서 발생합니다. 이 곡선의 끝부분은 각각 "귤 조각"의 선에 접촉하게 됩니다. 접촉이 이루어지면 수술이 이루어집니다. 어려운 점은 이전 페이지에서 네 가지 기본 재앙을 보았을 때, 목을 뒤틀며 모든 각도에서 이를 이해하고 변환하는 능력이 필요하다는 점입니다. n에서는 수술이 이루어지는 비판적 순간 (변환의 "중간 상태")을 보여줍니다. 이 시점에서 곡선 끝부분의 연결 방식이 바뀝니다. 이 "바지 재앙"이 한 경로를 닫고 다른 경로를 여는 특성을 가지고 있다는 점을 알고 있습니다. 초기 경로는 흰 화살표로 표시되어 있습니다. 그러나 수직 축을 중심으로 모델을 180도 회전시키면 같은 각도에서 다른 경로를 볼 수 있습니다. 이 두 화살표는 사실 하나의 경로입니다. 이러한 재앙이 발생하기 전까지는 "접힌 고무 보트" 안을 자유롭게 이동할 수 있습니다. 그러나 재앙이 발생하면 이 경로는 더 이상 사용할 수 없게 됩니다. 대신 두 개의 새로운 경로가 생깁니다. 그러나 어디에, 어떤 공간 부분이 관련되는 것일까요? 이 경로들은 "귤 조각"의 내부와 외부를 연결하게 됩니다. l'에서는 "귤 조각"이 보입니다. 이제 다음 단계로 넘어갑니다.
경로 닫기. 이중 비판적 상태로 전환
o에서는 두 개의 "바지 재앙"이 서로 다른 두 단계를 보여줍니다. 하나의 경로는 완전히 닫혔습니다. 이는 비판적 상태에 이르렀으며, 곡선의 연결 방식이 바뀌기 직전입니다. 오른쪽 (그림 o'의 세부 내용)에서는 경로가 닫히는 중입니다. 따라서 오른쪽과 왼쪽의 자기 교차 곡선의 형태가 다릅니다. 그림 p, p', p"에서는 양쪽 모두에서 비판적 상태(변환의 "중간 상태")에 도달했습니다. 다음 페이지의 그림에서는 수술이 완료된 후의 모습입니다. 그림 p"에서 보였던 "귤 조각"과 외부를 연결하는 튜브가 이제 완성되었습니다:
두 개의 "바지 재앙"이 완료됨. 경로(흰 화살표)가 열림
이제 모델의 아래부분을 다뤄야 합니다. 그 세부 내용은 r에 나와 있습니다. 이 표면 부분을 자세히 살펴보세요. 우리는 서로 수직인 두 방향으로 향하는 두 개의 포물선형 원통이 교차하는 모습을 볼 수 있습니다. r의 아래쪽에는 독자에게 맞서는 경로가 있습니다. 이제 이 두 원통을 서로 미끄러뜨려 보겠습니다. 그러면 이 경로는 닫히고, 수직 방향(좌우 방향)으로 새로운 경로가 열립니다. 여기서 우리는 새로운 "바지 재앙"을 발견합니다. 이 포물선형 원통의 수직 미끄러짐이 이루어진다면, 다시 한번 비판적 상태에 도달하게 되며, 겹쳐진 면의 연결 방식이 바뀝니다. 그러나 단순한 경제성 고려로 인해, 이 과정은 비판적 상태, 즉 독자에게 향하는 경로가 닫히고 수직 방향 경로가 아직 열리지 않은 상태에서 멈추겠습니다. 이를 수행해 봅시다.
새로운 "바지 재앙" 시작(모양 L), 오른쪽에서 비판적 상태에서 중단
모양 L에서 분홍색 면이 바깥쪽을 향한 원통을 위로 밀어 올립니다. c'에서는 이 움직임이 전체 자기 교차 구조에 미치는 영향을 볼 수 있습니다. 곡선의 부분들이 서로 가까워지기 시작합니다. 비판적 상태에 도달하면 이 부분의 구조는 그림에 나타난 "계란 털이용 휘어진 막대기"와 유사하게 됩니다. 오른쪽의 그림 t, t', t"에서는 비판적 상태에 도달했음을 보여줍니다. 즉, 재앙의 "중간 순간"입니다. t"에서는 하부 구조가 계란 털이용 막대기와 일치합니다. t'에서는 작은 사면체 부피를 보여줍니다. t'''에서는 네 개의 겹쳐진 면이 교차하는 모습을 나타냅니다.
아스피린 한 알 드세요.
이 구체 뒤집기의 버전에서는 모든 변환과 재앙이 완전히 완료되어야 합니다. 그러나 방금 언급한 재앙을 중간 상태, 즉 "비판적" 상태에서 멈추겠습니다. 그 후, 아직 사용하지 않은 재앙을 시작하겠습니다: 정사면체를 뒤집는 재앙. 그러나 이 경우에도 비판적 상태, 즉 정사면체가 점으로 줄어든 상태에서 멈추겠습니다. 진행해 봅시다!
마지막 재앙, 중간 상태에서 멈춤: 정사면체가 점 Q(사중점)로 줄어들 때
t'''에서는 네 개의 겹쳐진 면이 교차하는 구조를 보여주며, 자기 교차 구조는 정사면체 형태의 부피를 포함합니다. u"에서는 이 정사면체가 점(네 개의 면이 교차하므로 사중점)으로 줄어듭니다. 왼쪽에는 "모린의 네 귀 모델"이 구성됩니다. 앞부분에는 자기 교차 구조가 있으며, 아래에는 "계란 털이용 막대기", 위에는 "토끼 귀"를 연상시키는 네 개의 끈이 있습니다. 약간의 표면 변형을 통해 새로운 재앙 없이 오른쪽으로 전환하면 모린의 네 귀 중심 모델에 도달합니다. 이 모델은 4차 대칭을 가집니다. 수직 대칭축을 중심으로 90도 회전하면 동일한 그림이 나오지만 색상이 바뀝니다. 회색이 분홍색으로, 분홍색이 회색으로 바뀝니다. 따라서 작업이 완료되었다고 말할 수 있습니다. 왜냐하면 완전한 호모토피를 그리려면 애니메이션을 통해 이 중심 모델을 90도 회전시키기만 하면 되기 때문입니다. 그런 다음, 우리가 그린 모든 그림을 색상이 바뀐 상태로 거꾸로 다시 그릴 수 있습니다. 결국, 분홍색 면이 바깥쪽을 향한 구체의 잠김 상태를 얻을 수 있습니다. 그러나 수학은 게으름이나 경제성의 학교입니다. 우리가 4차 대칭을 가진 객체에 도달했기 때문에, 이 정도에서 멈추고 작업이 완료되었다고 말할 수 있습니다.
다음 페이지에서는 모린의 중심 모델을 가능한 한 자세히 설명했습니다. "닫힌 귀"를 가진 모델도 존재하며, 저는 다른 아카데미 보고서에서 설명했지만, 여기서는 생략하겠습니다.
모린의 중심 모델(네 귀)의 자세한 설명
이후 저는 네 귀 중심 모델의 다면체 표현을 찾았습니다. 사실 이 모델은 "위"나 "아래"가 없습니다. 그림과 애니메이션의 편의를 위해(1980년대 초반에 개발한 컴퓨터 도움 설계 소프트웨어를 사용해 이미지를 얻음), 아래의 애니메이션 GIF에서는 이 모델을 사중점이 위로 향하도록 보여줍니다. 사중점도 명확히 보입니다:
내가 만든 네 귀 모델의 다면체 버전
자르기용 자료 (인쇄 후 두꺼운 종이 4장에 복사, 2색 사용)
초기 애니메이션에서는 위 그림과 반대 방향으로 보였습니다. 따라서 "위에서 본" 모습은 감마 모양의 십자가를 띠었으며, 전체적으로 약간의 "신나라 낙관주의자 정당 문화관" 같은 느낌을 줬습니다. 저는 극우 건축가들에게 나쁜 영향을 주지 않기 위해 이 객체를 뒤집는 것이 더 낫다고 생각했습니다. 여기 클릭하여 이 객체를 직접 조립하는 방법에 대한 모든 설명을 얻을 수 있습니다. 마지막으로 이 객체의 몇 가지 시점입니다.
구체 뒤집기의 이야기를 마무리하며, 매우 이상하지만 완전히 진실된 일화 하나를 소개하겠습니다. 이 변환이 알려진 사람이 매우 적었을 당시, 한 후원자가 충분히 명확한 모델을 만드는 사람에게 100만 달러 상금을 제시했습니다. 버클리에서 수학자 찰스 푸는 이 작업에 매달려 완성했습니다. 그 돈으로 그는 집을 구입했습니다. 이 모델은 닭용 철망으로 만들어졌으며, 각각 1미터 이상의 직경을 가졌습니다(푸는 놀라운 솜씨로 구조물의 메시를 자르고 재접합하여 자기 교차를 가능하게 했습니다). 이 모델들은 수년간 버클리 대학 수학과 카페테리아 천장에 전시되었습니다. 그러나 어느 날 밤, 도난당해 다시는 찾지 못했습니다. 누구에게 도난당했는지 아무도 몰랐습니다. 루브르 미술관의 '모나리자'보다도 판매가 어려웠을 것입니다. 아마도 어떤 애호가가 지하실에 숨겨 두고, 매일 밤 그곳에 내려가 "나만 이걸 볼 수 있다"며 기뻐하고 있을지도 모릅니다.
다른 일화도 있습니다. 이번에는 제가 처음으로 보이 표면의 경선을 발견한 이야기입니다. 저는 이 경선이 타원의 집합임을 밝혀냈습니다. 이 작업은 제가 만든 금속 모델을 바탕으로 완전히 경험적으로 수행되었습니다. 당시 물리학을 공부하던 수학자 장-마리 수리오의 아들 제롬이었습니다. 아버지의 애플 II 마이크로컴퓨터를 사용해 처음으로 이 객체의 매개변수 표현을 만들었습니다. 형식은 다음과 같습니다:
X = X(α, μ)
Y = Y(α, μ)
Z = Z(α, μ)
Dreamweaver에서 기호 글꼴을 삽입할 수 없어 그리스 문자를 페이지에 포함시킬 수 없습니다.
누군가 어떻게 해야 하는지 알려주면 감사하겠습니다.
10줄의 BASIC 프로그램으로 1981년에 처음으로 보이 표면의 "선형 이미지"를 화면에 나타낼 수 있었습니다. 만약 어떤 웹사이트에서 이 객체의 합성 이미지를 찾는다면, 그 모든 것이 제가 과학 아카데미에 게재한 이 작업(1981년 10월 5일, 제93권, 제1시리즈, pp. 269-272)에서 유래된 것입니다. 이 논문은 J.P. 페티와 J. 수리오가 공동으로 기고했기 때문에, 읽는 사람(매우 드물지만)은 J. 수리오가 잘 알려진 수학자라고 생각합니다. 그러나 사실은 그의 아들 제롬이며, 물리학 학위를 마치지 못하고 정보기술자로 일하게 되었습니다. 이 이미지들이 합성된 것임을 쉽게 알 수 있으며, 많은 경우 프랑스 공과대학의 콜로나가 이 방정식을 바탕으로 만들었습니다. 이 작업은 보완이 필요하며, 완성되지 않은 탓에 극지 근처에 다소 보기 싫은 주름이 생겼습니다. 아래는 이러한 "선형 표현"을 만드는 프로그램입니다.
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프로그램, '톱로지콘'에서 발췌**:
마지막 일화는 더욱 놀랍습니다. 약 20년 전, 저는 바하마 남부에서 잠수 탐사에 참여했으며, 잠수사 자크 마욜과 함께였습니다. 목적은 찰스 베르리츠의 유명한 책 '버뮤다 삼각지대'에서 언급된 '침몰한 피라미드'를 찾는 것이었습니다. 정확히 말하면, 이 피라미드는 케이 살 백의 남쪽, 플로리다와 쿠바 사이에 위치해야 했습니다. 이 지역은 대형 상어가 많아 매우 위