토러스의 위상학적 뒤집기
토러스의 뒤집기
2004년 12월 9일
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이 연구의 결과 중 하나: 토러스의 단순한 뒤집기
구를 뒤집는 것이 이렇게 어려웠다면, 반대로 토러스를 뒤집는 것은 매우 쉬워진다. 심지어 10살 아이도 할 수 있을 정도다. 사실 토러스는 구에 손잡이가 달린 형태이기 때문이다. 우리는 크로스캡의 두 코너 점을 교환했던 방식과 마찬가지로, 구를 아무런 고민 없이 뒤집는다. 그러면 손잡이가 내부에 위치하게 된다. 마치 '다리'가 '지하 통로'로 변하는 것처럼 말이다. 그러나 도로망에서 지하 통로가 존재할 경우, 정규 호모토피를 통해 언제든지 그 지점을 일반적인 점으로 바꿀 수 있다는 점은 모든 도로 공사 엔지니어들이 알고 있다.
구가 뒤집어진 후에는, 그 지하 통로에 손가락을 넣고 힘껏 당기기만 하면 된다. 아래의 그림을 참조하라.
토러스의 단순한 뒤집기
이 그림에서는 다소 잘 보이지 않지만, a에는 토러스의 생성 원 중 하나를 표시하였다. 이 원들은 토러스를 메쉬 특이점 없이 지도화하는 두 가지 원의 집합 중 하나를 구성한다(자세한 내용은 '토폴로지콘' 참조). 손잡이가 구에 손잡이가 달린 부분 b에 모여 있을 때, 이 곡선은 여전히 보인다. 구에 손잡이가 달린 상태가 뒤집어진 후 c에서, 작업자가 손가락을 통로에 넣으면 이 곡선은 손가락을 둘러싸게 된다. 손가락으로 손잡이를 빼내는 순간 d, 최종 이미지 e에서 보듯이, 이 원은 표면의 '목 부분' 원이 된다. 따라서, 메리디언 원과 평행 원의 이중 격자로 토러스를 지도화할 때(목 원은 이 두 번째 집합에 속함), 뒤집기 작업이 이 두 집합을 서로 교환한다는 것을 알 수 있다. 이는 마치 마법 같으며, 개인적으로는 이 현상이 내 이해를 넘어서는 것이라 인정해야겠다. 누구나 자신의 한계를 알고 있어야 한다. 나는 개인적으로, 어떤 사고 과정에서는 뇌에 서킷 브레이커가 있어야 한다고 생각한다.
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