토러스의 위상학적 뒤집기
토러스의 뒤집기
2004년 12월 9일
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이 연구의 결과 중 하나: 토러스의 단순한 뒤집기
구를 뒤집는 것이 이렇게 복잡했다면, 반대로 토러스를 뒤집는 것은 매우 쉬워진다. 심지어 10세 어린이도 할 수 있을 정도다. 사실 토러스는 구에 손잡이가 달린 것뿐이다. 우리는 크로스캡의 두 코너점(침입점)을 바꾸는 방식과 마찬가지로, 아무런 고민 없이 구를 뒤집는다. 그러면 손잡이가 내부로 들어간다. 말하자면 이 '다리'가 '지하 통로'로 바뀌는 셈이다. 그러나 모든 도로 공사 엔지니어들이 알고 있듯이, 도로망 내의 어떤 지하 통로도 정규 호모토피를 통해 점으로 변환할 수 있다.
구가 뒤집어진 후, 이제는 그 통로에 손가락을 넣고 빠르게 당기면 된다. 아래의 그림을 참조하라.
토러스의 단순한 뒤집기
이 그림에서는 다소 잘 보이지 않지만, a에는 토러스의 생성 원 중 하나를 표시했다. 이 원들은 토러스를 메쉬 특이점 없이 지도화하는 두 가지 원의 집합 중 하나를 구성한다(자세한 내용은 '톱로지콘' 참조). 손잡이가 구에 손잡이가 달린 영역 b에 집중될 때, 이 곡선은 여전히 보인다. 구에 손잡이가 달린 것이 뒤집어진 후(c), 작업자가 손가락을 통로에 넣으면, 이 곡선이 손가락을 둘러싸게 된다. 손가락으로 손잡이를 '꺼내는 순간'(d), 최종 이미지 e에서 보듯이, 이 원이 표면의 '목 부분 원'이 되어 있음을 알 수 있다. 따라서, 구의 두 가지 원(경도 원과 위도 원)으로 이루어진 이중 그리드를 이용해 토러스를 지도화할 때(목 부분 원은 이 두 번째 집합에 속함), 뒤집기 작업은 이 두 집합을 서로 교환한다는 것을 알 수 있다. 이는 마치 마법 같으며, 개인적으로는 이 현상이 내 이해를 초월한다고 인정한다. 누구나 자신의 한계를 알아야 한다고 생각한다. 나는 개인적으로 어떤 사고 과정에서는 뇌에 퓨즈가 있어야 한다고 생각한다.
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