클라인 병의 뒤집기
클라인 병의 뒤집기
2004년 12월 9일
페이지 6
비자명한 토러스의 뒤집기
J.P. 페티 :
『학회 보고서』, 제293권, 1981년 10월 5일 회의, 제1계, pp. 269-272
나는 설명 없이 그림의 흐름만 제시할 것이다.
비자명한 토러스의 뒤집기. 변환의 첫 번째 단계
비자명한 토러스의 뒤집기. 변환의 두 번째 단계
그림 v에 도달했을 때, 회색 구조와 분홍색 구조를 겹치게 하여 이 물체를 클라인 병의 이중 겹침으로 바꾸는 것이 매우 쉬운 것을 알 수 있다.
이제는 서로 마주보는 겹침을 교환함으로써 뒤집기가 이루어진다. 아래는 색상 코드를 적용한 동일한 그림이다.
색상 코드가 적용된 클라인 병의 이중 겹침
(이 그림은 내 CNRS 연간 보고서에 포함되지 않았다.『톱ولوج콘』에서 찾을 수 있다.)
토러스의 다양한 가족들
1957년 스티븐 스메일이 증명한 바에 따르면, 구면의 임베딩은 오직 하나의 가족만 존재하며, 이 모든 임베딩은 호모토피를 통해 서로 연결될 수 있다. 이러한 임베딩들은 항등원이 물체를 그대로 두는 군을 이룬다. 토러스의 경우에도 마찬가지일까? 수학자 이안 제임스와 에머리 토머스는 토러스의 임베딩이 정칙 호모토피를 통해 이동할 수 없는 네 개의 대륙으로 나뉘어 있음을 보였다.
토러스의 네 가지 가족
중앙에 그려진 '표준 토러스'는 b에 그려진 물체와 같은 가족에 속한다. 나는 1980년에 개발한 토러스 뒤집기의 버전에서 이 점을 간접적으로 보였다. 언급된 a는 360도의 비틀림을 겪은 토러스를 의미한다. 표준 토러스와 비슷해 보이지만, 두 물체는 각각의 지도 체계, 즉 두 종류의 곡선으로 정의된다. 표준 토러스에서는 두 종류의 원, 즉 경선과 위도선을 사용한다. a의 토러스에서는 이 원들에 붙은 원의 집합에 대해 반대 방향으로 비틀린 두 번째 집합을 추가해야 한다. 이때 보여줄 수 있는 것은, 정칙 호모토피를 사용해 a 토러스의 격자 구조를 표준 토러스의 격자 구조(경선 원과 위도선 원)와 일치시킬 수 없다는 점이다. 이 의미에서 두 물체는 서로 다른 것이다. 이러한 모든 물체는 명백히 클라인 병의 이중 겹침으로 구성될 수 있다.
기하학자의 도구의 힘은 무엇이 가능한지, 무엇이 불가능한지를 미리 예측할 수 있다는 점이다. 표준 토러스를 b의 토러스로 바꾸는 것은 가능하다. 그러나 c에서 d로 가는 것은 불가능하다.
이러한 예측은 무의미한 시간 낭비를 피하게 하며, 특히 자명하지 않은 문제를 탐구하도록 유도한다. 예를 들어 구를 뒤집는 것과 같은 일이다. 모든 과학 분야에서 마찬가지다. 사람들은 오랜 세월, 심지어 수 세기 동안, 단지 그것이 불가능하다고 믿기 때문에, 매우 유망한 접근법을 놓치는 경우가 있다. 나는 1975년에, 라플라스의 힘장과 'MHD'를 이용해, 가스 속에서 초음속으로 움직이는 물체 주위의 충격파를 제거하는 이론을 개발하기 위해 몇 년을 보냈다. 한 학생은 내 지도 아래 이 주제로 박사 논문을 썼으며, 우리는 다양한 심사 제도를 갖춘 학술지와 과학 컨퍼런스에 이 연구를 발표했다. 이 주제는 이제 30년이 지난 지금 비로소 등장하기 시작하고 있다. 미국이 마하 10의 초음속 비행기로 충격파를 생성하지 않고 비행할 수 있는 기술을 보유하고 있다는 추측이 있다(특히 충격파 뒤에서 공기가 압축되면서 생기는 엄청난 열적 응력에 노출되지 않도록). 이는 유명한 '오로라'라는 전설적 기체에 대한 이야기다. 오로라는 북극광이 발생하는 고도, 즉 80~150km의 고도에서 비행하는 기체로, 미래의 우주 발사체의 전조이기도 하다. 이 기체는 공기를 이용해 추진하기 때문에, CNES의 로켓보다 훨씬 경제적일 것이다. 그러나 프랑스에서는 이러한 연구를 시작할 수 없었다(나는 1975년에 이 아이디어를 떠올렸다). 왜냐하면 특히 CNRS 내의 사람들은 이 아이디어가 완전히 비합리적이라고 여겼기 때문이다. 결과적으로, 나는 미국에 비해 30년의 뒤처진 상황에 놓여 있으며, 이는 절대 따라잡을 수 없다고 생각한다.
담배 뚜껑 농담
완전히 설명하기 위해, 담배 뚜껑을 중심으로 한 구의 뒤집기 버전을 언급해야 한다. 나는 젊었을 때 흔히 볼 수 있었던 물체였지만, 지금은 거의 찾아보기 어렵다. 이러한 시퀀스를 처음으로 그린 사람은 조르주 프랑시스였다. 최근 몇 년간 나는 이러한 버전의 다면체 버전을 개발해 왔으며, 이미 꽤 아름다운 중심 모델을 얻었다. 그러나 그것을 보여주기 위해서는 내가 다시 그 모델을 찾아야 한다. 곧 가능하리라 기대한다. 왜냐하면 이것은 내가 만든 가장 매혹적인 물체 중 하나이기 때문이다.
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