클라인 병의 뒤집기
클라인 병의 뒤집기
2004년 12월 9일
페이지 6
비자명한 토러스의 뒤집기
J.P. 페티 :
「과학 아카데미 회의록」, 제293권, 1981년 10월 5일 회의, 제1편, pp. 269-272
나는 그림의 연속을 설명 없이 제시하기에 만족하겠습니다.
비자명한 토러스의 뒤집기. 변환의 제1단계
비자명한 토러스의 뒤집기. 변환의 제2단계
그림 v에 도달하면, 회색 구조와 분홍색 구조를 일치시켜 이 물체를 클라인 병의 이중 겹침으로 변환하는 것이 매우 쉬운 것을 알 수 있다.
이제 겹침면을 서로 바꾸는 방식으로 뒤집기가 이루어진다. 아래는 색상 코드를 적용한 동일한 그림이다.
색상 코드를 적용한 클라인 병의 이중 겹침
(이 그림은 내 CNRS 연간 보고서의 일부가 아니다. 「톱ولوج코닉」에서 찾을 수 있다.)
토러스의 다양한 가족들
1957년 스티븐 스메일이 입증한 바에 따르면, 구의 임베딩은 단 하나의 가족뿐이며, 이 모든 임베딩은 호모토피를 통해 서로 연결될 수 있다. 이들은 항등원이 물체를 그대로 두는 군을 이룬다. 토러스의 경우에도 마찬가지일까 하는 의문이 제기되었다. 수학자 이안 제임스와 에머리 토머스는 토러스의 임베딩이 정규 호모토피를 통해 연결될 수 없는 네 개의 대륙으로 나뉘어 있음을 보였다.
토러스의 네 가지 가족
중간에 그려진 '표준 토러스'는 그림 b에 나타난 물체와 같은 가족에 속한다. 나는 1980년에 개발한 토러스 뒤집기의 버전에서 이 사실을 간접적으로 보였다. a에서 언급된 가족은 360도의 비틀림을 겪은 토러스를 의미한다. 표준 토러스와 비슷해 보이지만, 두 물체는 각각의 지도 체계를 기반으로 정의되며, 두 종류의 곡선으로 구성된다. 표준 토러스에서는 메리디언과 평행선으로 간주되는 두 집합의 원을 사용한다. 토러스 a의 경우, 붙어 있는 원의 집합에 대해 반대 방향으로 비틀린 두 번째 집합을 추가해야 한다. 이때, 정규 호모토피를 통해 토러스 a의 격자 구조를 표준 토러스의 격자 구조(메리디언 원과 평행선 원)와 일치시킬 수 없음을 보일 수 있다. 이 의미에서 이들은 서로 다른 물체이다. 이러한 모든 물체는 명백히 클라인 병의 이중 겹침으로 구성될 수 있다.
기하학자의 도구의 힘은 어떤 일이 가능한지, 어떤 일이 불가능한지를 미리 예측할 수 있다는 점에 있다. 표준 토러스를 그림 b의 토러스로 변환하는 것은 가능하다. 그러나 c에서 d로 가는 것은 불가능하다.
이것은 무의미하게 시간을 낭비하는 것을 피하게 해주며, 특히 구를 뒤집는 것처럼 자명하지 않은 것을 탐구하도록 유도한다. 모든 과학 분야에서 마찬가지다. 사람들은 종종 수십 년 또는 수백 년 동안, 단지 그것이 불가능하다고 믿기 때문에, 매우 유망한 접근법을 놓치곤 한다. 나는 1975년에 라플라스 힘장과 'MHD'를 이용해, 가스 속을 초음속으로 움직이는 물체 주위의 충격파를 제거하는 이론을 개발하기 위해 몇 년을 보냈다. 한 학생은 나의 지도 아래 이 주제로 박사 논문을 썼으며, 우리는 다양한 심사 제도를 거친 학술지와 과학 컨퍼런스에 이 연구를 게재했다. 이 주제는 이제야 30년이 지난 지금 비로소 주목받기 시작하고 있다. 미국이 마하 10의 초음속 비행기로 충격파 없이 비행할 수 있는 기술을 보유하고 있다는 것이 추측되고 있다(특히 충격파 뒤의 공기 압축으로 인한 극심한 열적 하중을 피할 수 있다). 이는 유명한 '오로라'라는 신화적 비행기의 이야기로, 극광이 발생하는 고도인 약 80~150km의 고도에서 비행한다. 오로라는 또한, 공기를 이용해 비행하는 미래의 우주 발사체의 전조이기도 하다. 이는 기존의 CNES 로켓보다 훨씬 경제적인 방식이다. 그러나 프랑스에서는 이러한 연구를 시작할 수 없었다(나는 1975년에 이 아이디어를 떠올렸다). 왜냐하면 특히 CNRS 내의 사람들은 이 아이디어가 완전히 비현실적이라고 여겼기 때문이다. 결과적으로, 미국에 비해 30년의 뒤처진 상황이 되었으며, 나는 이 시차가 절대 따라잡을 수 없다고 생각한다.
담배 파이프 농담
완전성을 위해, 담배 파이프를 중심 주제로 한 구의 뒤집기 버전들을 언급해야 한다. 나는 어릴 적 흔히 볼 수 있었던 물건이었지만, 지금은 거의 찾아보기 어려운 것 같다. 이러한 시퀀스를 처음으로 그린 사람은 조르주 프랑시스였다. 최근 몇 년 동안 나는 이러한 버전의 다면체 버전을 개발해 왔으며, 이미 꽤 멋진 중심 모델을 만들어 냈다. 그러나 이를 보여드리기 위해서는 다시 모델을 찾아야 한다. 곧 가능하리라 희망한다. 왜냐하면 이는 내가 만든 것 중 가장 매혹적인 물체 중 하나이기 때문이다.
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