우주론 세미나 제안
2006년 11월 2일
안드레이 사카로프의 우주론 모델의 기하학적 변환
J.P. 페티 & G. 다고스티니
2006년 11월 2일
노벨상 수상자인 안드레이 사카로프는 우주론 분야에서의 업적( [1], [2], [3] )으로는 잘 알려져 있지 않다. 한 저자( [7], [8], [9], [10], [11] )는 1977년부터 사카로프의 연구와 동일한 방향에서 연구를 시작했으나, 이 작업을 1984년에 프랑스에서 출간된 『안드레이 사카로프, 과학적 저작』[4]를 통해 처음 알게 되었다. 이 책은 1982년 영어로 처음 출간되었음( [5] ).
이 모델을 간략히 정의하면, T-대칭을 포함하는 것으로, 사카로프가 처음으로 제기한 주요 관심사는 관측 가능한 우리 우주에서 반물질이 존재하지 않는 이유를 설명하는 것이었다. T-대칭을 고려한 후, 사카로프는 CPT 대칭인 우주를 제안하였다( [6] ).
우리는 이 아이디어를 기하학적으로 다음과 같은 도구를 사용하여 표현할 것이다:
- 동역학적 군
- 운동량 공간 (군의 리 대수의 쌍대 공간)
( 참고: 『동역학계의 구조』, J.M. 수리오, 1972년 [12] )
민코프스키 공간의 등거리 변환군인 파울리 군에서 출발하자. 운동량의 성분 수는 군의 차원과 같으며, 이는 10이다.
이 성분들은 다음과 같이 묶을 수 있다:
- 에너지 E를 나타내는 하나의 성분
- 운동량 벡터를 구성하는 세 성분
- 수리오가 '통과(passage)'라 부르는 세 성분
- 나머지 세 성분은 '회전(tournoiement)'을 구성한다.
( 이 접근법은 스핀을 순수하게 기하학적 대상으로 나타낼 수 있게 하며, 참고 문헌 [12], 181쪽 참조)
로렌츠 군은 네 개의 연결 성분을 갖는다.
- 첫 번째는 군의 중립 성분으로, 공간과 시간을 뒤바꾸지 않는다.
- 두 번째는 공간을 뒤바꾸지만 시간은 뒤바꾸지 않는다 (P-대칭).
- 세 번째는 시간을 뒤바꾸지만 공간은 뒤바꾸지 않는다 (T-대칭).
- 네 번째는 공간과 시간을 모두 뒤바꾼다 (PT-대칭).
수리오는 로렌츠 군의 첫 두 성분을 결합하여 '오르토크론 부분군 L₀'을 구성한다. 이 부분군의 원소들은 주어진 운동에 대해 시간의 방향을 보존한다. 남은 성분들은 '안티크론 부분군 Lₐ'을 구성하며, 이 부분군의 원소들은 시간을 뒤바꾼다 (T-대칭).
로렌츠 군에 시공간 이동을 추가하여 구성된 파울리 군 역시 네 개의 연결 성분을 갖는다.
파울리 군의 전체 군(네 개의 성분을 포함)이 운동량 공간에 작용할 때, T-대칭은 에너지의 부호를 뒤바꾸게 된다 (참고 문헌 [12], 197쪽, '공간과 시간의 반전', 식 (14.67)).
칼루자(Kaluza)는 상대론적 물질점이 전하를 갖는다는 것은, 그 운동을 추가 차원을 가진 공간에 포함시키는 것과 동일하다는 것을 보였다. 이 공간의 형태는 다음과 같다:
t, x, y, z, z
이 '칼루자 공간'의 한 점은 다음과 같은 벡터로 표현된다:
이 기하학에 대응하는 동역학적 군은 파울리 군의 중심 확장이다. 이 군의 칼루자 공간에서의 작용은 다음과 같이 행렬 형태로 표현할 수 있다:
L은 (4,4) 행렬로, 로렌츠 군의 원소이며, 차원은 6이다.
f는 시공간 이동에 해당하는 4벡터이다.
f는 스칼라이다. 이 파울리 군의 중심 확장은 차원 11을 가지며, 이는 운동량 성분의 수와 정확히 일치한다. 따라서 상대론적 물질점의 운동을 칼루자 차원(추가 차원)을 가진 공간에 포함시키는 것은 운동량에 스칼라 성분인 전하 전하량 q를 추가하는 것이다.
이 군이 운동량 공간에 작용할 때, 전하 보존을 나타내는 추가적인 관계가 나타난다:
q' = q
C-대칭을 나타내기 위해서는 연결 성분이 여덟 개인 군으로 넘어가야 한다. 그 원소는 다음과 같이 표현된다:
이 군이 운동량에 작용할 때, 전하에 대한 작용은 다음과 같다:
( 참고 문헌 [13], 『기하학과 상대성』, 413쪽) 전하 켤레와 칼루자 차원의 반전 사이의 동치 관계를 재확인할 수 있다. 따라서 우리는 명확한 C-대칭의 기하학적 해석을 얻게 되었다.
우리가 말했듯이, 파울리 군은 P, T, PT 대칭을 실현하는 원소를 포함한다. 로렌츠 군의 오르토크론 부분군 L₀를 고려하자.
이는 로렌츠 군의 원소를 오르토크론 부분군(m = +1)과 안티크론 부분집합(m = -1)으로 나누어 표현하는 편리한 방법이다. 파울리 군의 원소는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다:
파울리 군 또는 그 중심 확장의 안티크론 성분은 음의 에너지를 갖는 입자의 운동을 의미한다. 이러한 입자들이 양의 에너지를 갖는 입자와 만나면 완전한 소멸이 일어날 것이다.
우리가 이해하는 우주는 질량이 0이 아닌 입자와 질량이 0인 입자, 즉 광자들(중성미자의 질량이 0인지 여부는 가정하지 않음)로 구성되어 있다. 이러한 모든 입자들은 상대론적 물질점의 특별한 운동일 뿐이다.
만약 군의 모든 성분이 작용하도록 허용한다면, 음의 에너지를 갖는 질량이 0이 아닌 입자와 음의 에너지를 갖는 광자들이 존재할 가능성을 시사한다.
물리학적으로 양의 에너지를 갖는 물체와 그 T-대칭인 음의 에너지를 갖는 물체가 공존하는 것은 어렵게 보인다. 이에 따라, 우리는 비연결된 운동 공간을 고려하는 아이디어를 제안하였다.
사카로프와 마찬가지로, 두 개의 CPT 대칭인 우주 잎을 기반으로 하자. 이 두 잎은 어떤 기준에 대해 CPT 대칭이다.
이 아이디어를 군론적으로 표현하기 위해, 잎의 지표 f = ±1을 도입하자.
다음과 같은 군과 그 5차원 비연결 공간에 대한 작용을 고려하자.
이 구성에서 CPT 대칭( z와 x의 반전)은 잎의 지표 f의 반전(f → -f)과 함께 나타난다.
공액 작용을 계산하면 다음과 같다:
P는 4차원 운동량-에너지 벡터이다.
f = 1인 운동 공간이 양의 에너지를 갖는 입자를 포함한다면, m = -1인 원소는 지표 f를 반전시켜 잎을 바꾸며, 에너지 E, 운동량 p, 전하 q를 반전시키고 CPT 대칭을 유도한다.
물질과 반물질의 이중성(C-대칭)은 두 잎 모두에 존재한다.
따라서 우리는 안드레이 사카로프가 처음 제안한 모델의 기하학적 설명을 얻게 되었다.
이제 두 잎(f = +1 및 f = -1)을 연결하는 경계 공간에 대해 좀 더 구체적인 설명을 시도해 보자. 이 공간에서는 한 차원이 사라져야 한다.
우리 우주에는 P-대칭에 의해 서로 유도되는 운동이 존재한다. 예: 같은 에너지를 가지지만 헬리시티가 반대인 두 광자(빛의 편광 현상).
또한 C-대칭도 우리 우주에서 작용하고 있다(반물질의 존재, 예: 우주선이나 충돌기에서의 관측).
그러나 어떤 실험이나 관측도 음의 에너지를 갖는 입자의 존재를 입증하지 못했다.
에너지란 시간 이동 불변성과 관련된 스칼라이다. 경계 공간, 즉 두 잎을 연결하는 공간에서는 시간 좌표가 사라진다.
따라서 우리는 5차원의 두 잎을 가지며, 각각은 칼루자 공간(다섯 번째 차원이 공간적 성격)으로, 다음 메트릭을 갖는다:
ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² - dz²
서명: (+ - - - -)
이 두 잎을 연결하는 경계 공간의 메트릭은 다음과 같다:
ds² = -dx² - dy² - dz² - dz²
서명: (- - - -)
이 경계 공간은 유클리드 공간이다.
이것은 아래 그림과 같이 간략히 나타낼 수 있다:
사카로프의 모델(두 개의 CPT 대칭인 우주 잎)
두 잎 사이의 경계 우주는 유클리드 공간이다.
참고 문헌:
[1] A. 사카로프: "CP 위반과 우주의 바리온 비대칭", ZhETF Pis'ma 5: 32-35 (1967), 영문 번역: JETP Lett. 5: 24-27 (1967)
[2] A. 사카로프: "다중 잎 우주론 모델", 응용 수학연구소, 모스크바, 1970년
[3] A. 사카로프: "시간 벡터 반전을 갖는 우주론 모델", ZhETF 79: 689-693 (1980), 영문 번역: Sov. Phys. JETP 52: 349-351 (1980)
[4] 안드레이 사카로프, 과학적 저작, Anthropos 출판사, 프랑스, 1984년 (품절)
[5] Andrei Sakharov, Scientific Works, Marcel Dekker Inc., 270 Madison Avenue, NYNY 10016
[6] 안드레이 사카로프: "우주 속의 반쿼크", N.N. 보골리우보프 60주년 기념 강연, Nauka, 모스크바, pp. 35-44.
[7] J.P. 페티: "시간 화살표가 반대인 대칭 우주", 1977년 5월 8일, CRAS 285: 1217-1221
[8] J.P. 페티: "시간 거울 속의 이미지와 상호작용하는 우주", 1977년 6월 6일, CRAS 284, A 시리즈, pp. 1413-1416
[9] J.P. 페티: "쌍둥이 우주론", Astronomy and Space Science 226: 273-307, 1995
[10] J.P. 페티: "결손 질량 문제", Il Nuovo Cimento B, 109권, 1994년 7월, pp. 697-710
[11] J.P. 페티, P. 미디, F. 랜드시트: "암흑 물질에 대한 쌍둥이 물질", 2001년 6월 25-29일, 마르세유, 국제 천체물리학 및 우주론 회의, "물질은 어디에 있는가?"
[12] J.M. 수리오, 『동역학계의 구조』, Dunod 출판사, 1970년. 영문 번역: 『동역학계의 구조』, Birkhauser 출판사, 1999년
[13] J.M. 수리오: 『기하학과 상대성』, Hermann 출판사, 1964년
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Jean-Pierre Petit
전 CNRS 연구소 소장
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빌라 장크리스토프
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84120 페르투아
페르투아, 2006년 11월 2일
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안드레이 사카로프 모델의 기하학적 변환
소장님께,
은퇴한 천체물리학자로서, 이전에 오몬(omont) 소장이 소장이었을 당시, 제가 천체물리학 및 우주론 연구를 세미나 형식으로 발표하기 위해 귀 연구소를 방문한 바 있습니다. 그때는 안드레이 사카로프가 처음 제안한 두 개의 CPT 대칭 우주 잎으로 구성된 모델을 다루었습니다.
이제 그로부터 6~7년이 지났습니다.
이 연구를 발전시켜서, 파리 천문학연구소의 연구자들에게 이 내용을 세미나로 발표하고자 합니다.
소장님께 존경의 마음을 전합니다.
Jean-Pierre Petit
전 CNRS 연구소 소장
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