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결여된 질량 문제
장피에르 피에트
마르세유 관측소, 프랑스
(Il Nuovo Cimento B, 109권, 1994년 7월, 697-710쪽)
요약
S3 × R1의 위상과 관련된 새로운 장 방정식이 제안된다. 우리는 공간 s의 모든 점을 반대편 영역 A(s)와 연결하는 미분적 대합 매핑 A를 도입한다. 이 방정식에 따르면 다양체의 기하학은 에너지-운동량 텐서 T와 반대편 텐서 A(T)에 모두 의존한다. 시간에 의존하지 않는 계량, 약한 장, 그리고 낮은 속도를 고려할 때, 이에 해당하는 포아송 방정식을 유도할 수 있으며, 이는 클러스터 구조와 헬라 구조와 상호작용하는 구조를 제공한다. 두 번째 구조는 첫 번째 구조의 격리에 도움을 준다. 이 모델이 결여된 질량 효과와 우주의 대규모 구조를 설명할 수 있을 것으로 제안된다.
- 서론
은하의 균형은 비상대론적 방정식들의 집합을 이용하여 연구된다. 예를 들어, 보즈 방정식과 포아송 방정식의 결합이 있으며, 이는 일반 상대론적 에인슈타인 장 방정식
(1)
S = c T
로부터 유도되며, 약한 장과 낮은 속도를 가정하는 정상 상태 가정이 포함된다. 우리 은하의 가시 질량에 의해 생성된 중력장이 이심력과 압력력을 균형 있게 만들 수 없다는 것은 잘 알려져 있다. 일부는 보이지 않는 질량인 어두운 물질이 이 이심력을 균형 있게 만들 수 있다고 가정한다. 이후 우리는 새로운 장 방정식을 기반으로 한 다른 모델을 제안할 것이다.
- 새로운 장 방정식
우리는 우주가 S3 × R1의 위상 구조를 가진다고 가정한다.
가우시안 좌표는 다음과 같다.
(2)
x = (x°, s)
여기서 x°는 시간 표시자이고, 벡터 s는 공간 표시자를 나타낸다. 시공간은 방향성이 있다. 주어진 점 s를 반대편 점 s*와 연결하는 미분적 대합 매핑을 정의할 수 있다.
(3)
s* = A(s)
다양체 상에서 정의된 두 텐서장 S와 T를 고려하자. 이들은 다음 장 방정식에 의해 연결되어 있다고 가정한다.
(4)
S = c (T - A(T))
여기서
(5)
A(T) = T* = T(x°, s*)
광선이 시공간의 지오데식을 따르다고 가정한다.
g는 계량 텐서이다.
R은 리치 텐서이며, 다음과 같다.
(6)
g* = g(x°, s*)
R* = R(x°, s*)
이를 바탕으로 장 방정식을 더 명확하게 다음과 같이 쓸 수 있다.
(7)
텐서 T와 T*를 다음과 같이 쓸 수 있다.
(8)
(9)
여기서
r* = r(x°, s*)
p* = p(x°, s*)
발산이 0인 조건을 적용하면 유체는 다음 보존 방정식을 따르게 된다.
(10)
- 시간에 의존하지 않는 조건, 약한 장과 낮은 속도, 포아송 방정식.
우리는 일반적인 방법을 적용하여 약한 장과 낮은 속도를 가정하고, 거의 로렌츠 계량을 사용할 수 있다.
(11)
g = h + ε g
여기서 h는 로렌츠 계량이고, ε는 작은 매개변수이다.
3차원 표기법을 사용하면,
(12)
뉴턴의 법칙은 전체 공간에 적용된다. 또한 중력 포텐셜은 다음과 같이 정의된다.
(13)
반대로, 중력 포텐셜 Y가 주어졌을 때, 계량 텐서의 goo 항이 다음 형태를 가지면 입자의 운동은 4차원 지오데식을 따르게 된다.
(14)
우리는 다음과 같은 결과를 얻는다.
(15)
비교를 통해 다음 포아송 방정식을 얻는다.
(16)
ΔY = 4πG (ρ - ρ*)
구형 대칭 시스템을 고려할 때,
(17)
여기서
(18)
ρ* = ρ(s*)
(17)에서,
(19)
Y* = -Y