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(n,n) 차원의 정사각행렬은 (n,0) 차원의 열벡터에 작용한다. 앞서 살펴본 바와 같이, 2차원 유클리드 군은 공간 (x,y)에 대해 열벡터에 대한 작용을 하지 않는다:
(51)
그러나 다음과 같은 열벡터에 대한 작용을 한다:
(52)
이는 군이 공간 X 위에서 작용하는 예를 나타낸다. 여기서 x ∈ X이다. 가능한 작용은 무수히 많으며, 군 자체 위에서의 작용도 포함된다. 이러한 작용은 공리에 의해 정의된다.
(53)
열벡터를 다음과 같이 고려하자:
(54)
여기서 x는 예를 들어 다음과 같은 벡터들을 나타낸다:
(55)
(56)
이 벡터들은 군 작용의 공리를 만족한다. 이제 군의 원소를 나타내는 정사각행렬을 왼쪽에서 행렬 행벡터 y와 곱해보는 것을 생각해보자. 이것이 또한 작용인지 여부를 묻는다.
(57)
A g (y) = y x g
그 답은 아니다. 이는 군 작용이 아니다. 왜냐하면 위에서 제시된 공리를 만족하지 않기 때문이다. 이 경우를 나는 "역작용(anti-action)"이라 부르고, 다음과 같은 "역공리"를 따른다:
(58)
수학자는 이러한 "역작용"을 도입할 필요가 없으며, 오직 하나의 공리 체계만 있으면 된다고 말할 것이다. 물론 그렇다. 마찬가지로 다음과 같은 것으로 간주되는 "역작용":
(59)
AA g (m) = g⁻¹ x m x g
여기서 m은 주어진 벡터이고, 이는 군 G의 원소 g가 행렬 m 위에 작용하는 "역작용"으로 간주되지만, 이는 원소 g⁻¹에 대한 일반적인 작용으로 간주할 수 있다. 마찬가지로, "역작용"은 단지 일반적인 작용의 쌍대(dual)일 뿐이다. 나는 이 개념을 도입하는 것이 교육적 관점에서 편리하다고 느꼈다.
n개의 매개변수 pᵢ에 의존하는 정사각행렬 군에서, 각 매개변수를 다음과 같이 미분하여 dpᵢ를 얻는다. 이렇게 얻어진 행렬들은 dpᵢ로 이루어진 원소들을 가진다. 이 행렬들은 군을 이루지 않지만, 그 대신 "군의 접선 벡터(tangent vector)"라 불리는 구조를 이룬다. (그 "리 대수(Lie algebra)"라 불리며, 사실은 진정한 대수는 아니지만, 넘어가자.)
따라서 군은 군의 항등원 e 근처의 "접선 벡터" dg에 대해 "역작용"을 통해 작용할 수 있다:
(60)
AA g (m) = g⁻¹ x d g (g=e) x g
결과적으로 다음과 같은 그림이 얻어진다:
(61)
그러나 역작용은 작용의 쌍대이다. 쌍대성(duality)이 존재할 때, 스칼라 곱 S가 보존된다. 따라서 수리물리학자 수리오(Souriau)는 군이 자신의 운동량 공간 위에서 작용하는 두 번째 작용을 구성하려고 했다. 그러나 이 작용, 즉 "공작용(coadjoint action)" 또는 "본질적 작용(essential action)"은 직접적으로 나타나지 않았다. 따라서 나는 "군이 자신의 접선 벡터 위에서의 역작용"이라는 중개 단계를 거쳐야 했다.
결과적으로 찾고자 하는 작용은 군이 자신의 접선 벡터 위에서 하는 역작용의 쌍대 형태로 나타난다. 그리고 역작용의 쌍대는 작용이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다:
(62)
A g (J)
여기서 J는 "운동량(moment)"으로, 물질점의 특성을 나타내는 양들의 집합이다. 이 작용, 즉 "공작용"은 이러한 특성들이 운동 과정에서 어떻게 변화하는지를 보여준다.
나중에 다룰 것과 같이, 갈릴레이 군의 확장인 군이 존재한다. 이 군은 1960년 바르그만(Bargmann)에 의해 제시되었으며, 바르그만 군이라 불린다. 이 방법을 이 군에 적용하면, 그 운동량 J_B와 군이 그 위에 작용하는 방식을 구성할 수 있다.
수리오(Souriau)는 흔히 다음과 같이 말한다:
운동량은 그림자처럼 움직임을 따라간다.
아름다운 비유로, 그의 저서 『자연의 문법(Grammaire de la Nature)』에서 차용한 말이다. 물질점은 실제로 공간-시간 (x,y,z,t)에서 움직인다. 이 과정에서 그 특성들이 변화하며, 이 변화는 군이 자신의 운동량 공간 위에서 하는 공작용으로 설명된다.
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