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우리는 바르그만 군의 모멘트 성분을 쓰지 않을 것이다. 개략적으로 바르그만 군의 모멘트를 다음과 같이 표현하자.
J B = { 스칼라 m, 그리고 모멘트의 다른 성분들 }
공액 작용
모멘트의 각 성분이 어떻게 변하는지를 보여준다. 그러나 이 공액 작용은 간단한 관계로 시작한다:
(63)
m' = m
바르그만 군의 모멘트 위에서의 공액 작용은 질량을 보존하는 것으로 시작하며, 이는 질량이 순수하게 기하학적인 성격을 갖게 된다는 것을 의미한다.
포앵카레 군의 모멘트 공간 Jp 위에서의 공액 작용을 구성하기.
만약 당신이 이미 완전히 혼란스러워졌다면, 그냥 넘어가도 된다. 이것은 정상적인 현상이며, 페이지가 진행될수록 점점 더 어려워질 것이다. 지금 이 시점에서 이 내용이 누구를 위한 것인지 나는 정확히 모른다. 아마도 이론 물리학자나 수학자일 것이지만, 아마도 수도사나 콘크리트 공사장 노동자에게는 아닐 것이다. 그러나 대학 또는 물리학 학사 과정을 공부하는 학생이라면, 꼭 붙잡고 따라오면 충분히 이해할 수 있다. 이건 단지 행렬일 뿐이다.
모든 것은 4×4 행렬로 이루어진 로렌츠 군의 원소 L로 시작한다.
이 행렬들은 행렬 G를 기반으로 공리적으로 정의된다:
(64)
다음과 같은 조건을 만족한다:
(65)
t L G L = G
여기서 L의 전치 행렬을 나타낸다.
행렬 L들은 군을 이룬다.
증명.
항등원은 L = 1이다.
L₁와 L₂를 집합의 두 원소라고 하자. 그들의 곱 L₁L₂가 군에 속하는지 확인해보자. 만약 그렇다면:
t (L₁L₂) G L₁L₂ = G
그러나:
t (AB) = tB tA
따라서:
t (L₁L₂) G L₁L₂ = tL₂ tL₁ G L₁L₂ = tL₂ (tL₁ G L₁) L₂ = tL₂ G L₂
이제 행렬 L의 역행렬을 구해보자. L의 정의 공리에서 시작한다:
t L G L = G
오른쪽에 L⁻¹을 곱한다:
t L G L L⁻¹ = G L⁻¹ → t L G = G L⁻¹
좌측에 G를 곱한다:
G t L G = G G L⁻¹ → G t L G = L⁻¹
따라서 L의 역행렬은:
L⁻¹ = G t L G
즉:
(66)
시공간 벡터. 행렬 G는 민코프스키 계량을 나타내며, c = 1일 때 다음과 같이 쓸 수 있다:
(67)
연습: 역행렬이 다음을 만족함을 보여라:
(68)
그 다음, 시공간 이동 벡터를 도입한다:
(69)
이로부터 포앵카레 군의 원소 gp를 구성한다:
(70)
연습: 이것이 군을 이룬다는 것을 보이고, 역행렬을 계산하라:
(71)
다음은 "군의 접선 벡터", 즉 그 "리 대수"의 원소이다:
(72)
이로부터 역작용을 계산한다:
(73)
dg'p = gp⁻¹ × dgₚ × gp
계산의 편의를 위해 다음 사실을 주목하자:
(74)
G dL은 반대칭 행렬이다. 이를 다음과 같이 부르자:
(75)
따라서:
(76)
다음과 같이 둔다:
(77)
이 자료를 바탕으로 역작용을 구성한다:
(78)
dg'p = gp⁻¹ × dgₚ × gp
모든 계산을 마친 후, 다음의 사상이 얻어진다:
(79)
단순한 행렬 계산 부분을 건너뛰고 싶다면, 식 (80)으로 건너가라. 하단 페이지
(79a)
(79b)
따라서 역작용의 성분은:
(79c)
그러나:
(79d)
따라서:
(79e)
그리고 GG = 1이므로:
(79f)
결과적으로 다음 사상을 얻는다:
(79g)
이는 원하는 역작용, 즉 사상:
(80)
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