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요소
g
p
포인카레 군 Gp는 {p
i}라는 매개변수의 순서로 정의되며, 앞서 언급했듯이 이 매개변수의 개수는 군의 차원을 나타낸다. 행렬 dg (g = e)는 양자량 {dp
i}로 구성된다. 따라서 위의 사상은 다음 형태를 갖는다:
(81)
즉, 스칼라 dp
i의 집합에 대해 동일한 개수의 스칼라 dp
i'를 대응시킨다.
이 이중성은 다음과 같이 스칼라의 불변성을 가정함으로써 이루어진다:
(82)
여기서 n은 군의 차원(포인카레 군의 경우 10)을 나타낸다. 스칼라 Ji는 동일한 개수를 갖는 운동량의 성분을 나타낸다.
우리는 이 운동량 J를 두 개의 물체로 분해하기로 결정한다. 첫 번째는 4×4 형식의 반대칭 행렬 M이며, 이는 6개의 성분을 갖는다. 두 번째는 "4벡터" P로, 4×1 형식의 행렬이다:
(83)
(84) J = {M, p, E} = {M, P}
우리는 스칼라 곱을 다음과 같은 형태로 쓸 것이다:
(85)
여기서 Tr은 "트레이스"를 의미하며, 다음과 같은 식이 성립한다:
(86)
이 선형형식의 불변성은 이중성의 보장을 한다.
여기서:
(87)
(87b)
(87c)
하지만 GG = 1이므로 이는 다음과 같다:
(88)
y에 대한 항을 식별하면:
(89)
즉:
(90)
----> 여기서 다시 행렬 계산의 세부 사항이 이어진다. 원하시면 여기를 클릭하여 결과로 바로 이동할 수 있다.
트레이스 내에서는 항들을 순환적으로 재배열할 수 있다.
(90a)
(90b)
(90c)
우변의 두 번째 항은 행렬 행과 행렬 열의 곱과 같다.
이는 역행렬의 곱의 트레이스와 같다 (아래 그림은 행렬 행과 행렬 열의 곱을 개략적으로 표현한 것):
(90d)
이 트레이스에서는 순환적 재배열을 수행할 수 있다:
(90e)
따라서:
(90f)
(90g)
여기서 다시 행렬의 트레이스에 관한 정리를 적용한다. 이는 다른 행렬과 대칭 행렬의 곱으로 이루어진 행렬에 적용된다.
모든 행렬은 대칭화하거나 반대칭화할 수 있다. 또한, 행렬과 대칭 행렬의 곱의 트레이스는 0이다.
(90h)
이를 행렬 (90i)에 적용할 수 있다. 왜냐하면 트레이스를 취하기 때문이다.
(90j)
(90k) = sym( ) + antisym( )
하지만:
(90l)
따라서:
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
그리고:
(90q)
결국:
(90r)
항들을 모아서 프라임 기호의 위치를 바꾸면, 군의 작용을 얻는다:
이미지
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