8
(91)
이 공액 작용은 행렬 형태로 표현할 수 있다.
포인카레 군의 행렬은 다음과 같다:
(92)
그 전치 행렬은 다음과 같다:
(93)
다음 행렬을 고려하자:
(94)
즉, 우리는 운동량
(95)
J
p = { M, P }
를 행렬 형태로 표현하고, 다음과 같은 곱을 구성한다:
(96)
(97)
(98)
이것은 다음 행렬과 동일시할 수 있다:
(99)
따라서 J
p는 포인카레 군의 운동량을 행렬 형태로 표현한 것이다. 그리고 공액 작용은 다음과 같이 쓸 수 있다:
(100)
연습 문제로, 독자는 공리에 기초하여 이것이 실제로 작용임을 확인할 수 있다.
포인카레 군의 운동량은 다음과 같이 명시적으로 표현할 수 있다:
(101)
이 행렬은 반대칭 행렬이다(즉, 주대각선은 모두 0으로 구성된다).
M은 다음 행렬이다:
(102)
구체적으로 나타내면:
(103)
이는 확실히 반대칭 행렬이며, 초기 가정과 일치하며, 6개의 매개변수에 의존한다:
(104)
( lx, ly, lz, fx, fy, fz )
세 번째부터 끝까지의 성분 (fx, fy, fz)은 벡터 f의 성분으로, 이 벡터는 '이동 벡터' f를 나타낸다:
(105)
첫 세 개의 성분 (lx, ly, lz)은 3×3 반대칭 행렬의 독립적인 성분으로, 이는 '회전 운동량' l을 의미한다:
(106)
따라서 다음과 같다:
(107)
벡터 P는 '4차원 운동량-에너지 벡터'이다:
(108)
이제 포인카레 군의 운동량을 일반적인 형태로 명시적으로 표현할 수 있다:
(109)
이는 군의 차원 수와 동일한 10개의 성분을 갖는 물체임을 확인할 수 있다.
(110)
J
p = { E, px, py, pz, fx, fy, fz, lx, ly, lz } = { E, p, f, l }
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