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스핀을 가진 입자들.
포앙카레 군은 점입자의 상대론적 운동을 설명한다. 마찬가지로, 나중에 언급될 표현을 가진 바르그만 군은 점입자의 비상대론적 운동을 설명하며, 이때는 이를 '질량점'이라 부른다.
따라서 이 기법, 즉 군이 운동량 공간 위에서 공액 작용을 계산하는 방식은 숨겨진 요소, 즉 물체의 특성인
운동량의 성분들
를 드러내었다는 점에서 주목할 만하다.
특히 놀라운 점은, 수리아우가 제안한 이러한 접근법이 물리학자들이 다루는 핵심적인 물체들을 순수한 기하학적 대상으로 드러낸다는 점이다. 따라서 그는 물리학의
기하학화
라는 전례 없는 업적을 이룩한 것이다.
에너지와 운동량 외에도, 나머지 성분들인 '회전'과 '이동'은 물리학자에게는 다소 혼란스럽다. 과연 이는 무엇을 의미하는가?
운동량 성분의 표현은 명백히 선택된 좌표계에 따라 달라진다.
가장 간단한 방법은 비상대론적 상황, 즉 바르그만 군의 분석을 통해 도출된 공액 작용의 표현으로 되돌아가는 것이다.
(111)
비밀스러운 공식. 이는 무엇을 위해 사용되며, 어떻게 작동하는가?
위의 박스 안에서 물리학자는 익숙한 몇 가지 대상을 알아볼 수 있다:
(112)
는 단지 속도 벡터 {vx, vy, vz}의 두 가지 표현일 뿐이다. 첫 번째는 열 행렬 형태이고, 두 번째는 행 행렬 형태이다. 두 행렬의 곱은 스칼라가 된다:
(113)
이것은 마치 운동 에너지와 비슷한 양이다.
mv는 운동량이다.
전통적인 물리학자에게 점입자의 역학을 다룰 때 알려진 것은 세 가지뿐이다:
- 질량 m
- 운동량 mv
- 운동 에너지 1/2 mv²
맞지만, 속도는 무엇에 대해 말하는가?
군은 또한 사물에 대한 시각이다. 따라서 우리는 군을 이용해 고정된 관찰자에 대해 물체를 운반하는 방식(유클리드 군의 경우와 마찬가지로)을 취할 수도 있고, 물체가 고정되어 있다면, 관찰자가 다른 방식으로 관찰하는 방식을 취할 수도 있다.
만약 우리가 동역학적 군(시간이 등장하는 물리학의 군, 유클리드 군과 대조됨)의 관점에서 물체의 이동, 즉 운반을 고려한다면, 우리는 물체가 속도 v와 에너지 E를 부여받아
움직임을 갖게 된다
고 말해야 한다.
반대로, 물체가 고정되어 있고 자신이 움직이는 시각을 취한다면, 군은 어떤 의미를 갖는가?
유클리드 군은 "다른 장소에서, 다른 각도에서 보는 것"을 의미한다. "다른 장소"는
이동 벡터
이다:
(114)
"다른 각도에서 보는 것"은 회전 행렬 a이며, 이는 공간 내에서의 회전을 의미한다(오일러 각도로 표현할 수 있지만, 여기서는 생략한다).
동역학적 군의 경우, 이러한 시각, 즉 '사물'에 대한 관점은 더욱 풍부하게 해야 한다. 바르그만 군의 맥락에서 속도 v를 도입한다는 것은, 관찰자가 이동 벡터 c로 인해 다른 장소에 있는 질량점을, 회전 행렬 a로 인해 다른 각도에서 관찰할 뿐만 아니라, 그 질량점이 고정되어 있다고 가정했을 때, 관찰자 자신도 속도 v로 움직이고 있음을 의미한다.
또한 완전성을 위해, 더 복잡하게 만들기 위해, 관찰자는 관측 대상인 입자와 같은 시간에 진화하지 않는다. 관찰자는 관측 대상과 시간 차이 Δt만큼 이동되어 있다.
다시 말해, 관찰자는 다른 장소에서 보지만, 이는 공간-시간적 장소이며, 이에 해당하는 공간-시간 이동 벡터는 다음과 같다:
(115)
이러한 '거리'를 두고 질량점을 바라보았을 때 나는 무엇을 관찰할 수 있는가? 첫째, m' = m임을 알 수 있다.
질량은 변하지 않는다.
회전을 제거하여 삶을 단순화할 수 있다. 다른 시간에, 시간이 이동된 상태에서, 속도 v로 움직이는 스케이트보드 위에 올라선 질량점을 관찰하는 것만으로도 충분히 복잡하다. 더불어 목을 비틀어가며 보는 것이 반드시 필요할까?
아니요. a = 1로 하자.
하지만 일반적으로 계산에서는 이 세부 사항을 간과한다. 이와 같이 특별화된 공액 작용은 다음과 같이 된다:
(117)
여기서 '고려하다'라는 표현은 어원적으로 의미한다. 내가 상황, 하늘, 전장, 또는 정찰기에서 촬영한 영상을 고려할 때 나는 무엇을 하는가?
법원 집행관은 다음과 같이 기록한다:
- 현장의 상태를 고려하여...
이것은 유클리드 군과 대응하는 정적인 시각이다. 집행관은 거리 c만큼 떨어진 곳에서, 동시에(Δt = 0), 원칙적으로 정지한 상태(v = 0)에서 물체를 관찰한다. 필요에 따라 특별한 각도, 즉 '특정한 각도'에서 관찰한다.
반면, 정찰기에서 항공기로 이동하는 장군은 이동하는 집행관과 유사하다(v ≠ 0).
그러나 정찰 드론이 촬영한 영상을 시청하는 총사령관은 시간이 지연된 상황에 직면한다. 그는 다음과 같이 생각해야 한다:
- 타겟을 특정 지점에서, 기울어진 각도로, 특정 속도로, 그리고 두 시간 전에 나타났던 모습으로 고려하자...
타겟은 특별한 고유 속도를 갖지 않는다. 심지어 '고정된 시설'이라 하더라도 고정된 것으로 간주할 수 없다. 지구도 움직이고, 태양도 움직이며, 은하계도 움직인다.
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