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말할 수 있는 것은 다음과 같습니다:
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"표적"으로부터 거리 c만큼 떨어져 있을 때,
-
나 자신이 속도 v로 이동하면서 그 표적을 관측할 때,
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표적에 대해 시간 차이 Δt만큼 이동된 상태에서.
나에 비해:
--- 그 질량 m을 변화시키지 않았다.
--- 그에게 운동량 m·v를 부여했다.
--- 그에게 전이량 m[c - v·Δt]를 부여했다.
--- 그리고 회전 운동을 부여했다.
이 회전 운동을 명확히 하면 다음과 같다:
(118a)
(118b)
(118c)
또는:
(118d)
회전 행렬 l의 세 개의 독립적인 성분을 벡터로 간주할 수 있다. 이 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다:
(119)
우리 공간에서는 벡터 곱을 정의하지 않았으므로, 즉 오른손-왼손 방향성을 부여하지 않았지만, 이를 벡터 곱으로 간주할 수 있다:
(120)
여기서 뒤집힌 v는 벡터 곱을 나타낸다. 공액 작용의 표현식에서 마지막 행이 다음과 같은 형태임을 알 수 있다:
(121)
l은 벡터가 아니라 행렬이지만(우리 표기법에서는 굵은 글자는 벡터든 행렬이든 모두를 의미하며, 얇은 글자는 스칼라를 의미한다).
이 벡터 곱은 물리학자에게 익숙한 어떤 것과 유사하게 보인다: 바로
운동량 모멘트
이다.
입자를 하나 선택하고, 그로부터 거리 c만큼 떨어져서, 속도 v로 이동하며 관측한다. 마치 반대의 상황인 것처럼 보인다: 입자가 고정된 관측자로부터 거리 c만큼 떨어져 있고, 속도 v로 움직이는 것처럼 말이다.
(122)
남은 것은 "전이량" f = m[c - v·Δt]이다.
이 전이량은 단순히 c = v·Δt로 두면 사라지며, 이는 속도 v와 시공간 이동량을 연결하는 것이다:
(123)
포인카레 군에서 유도된 운동량의 표현식을, 전이량이 0이 되는 좌표계에서 다시 쓰면:
(124)
입자는 운동량에서 특별한 선택을 한 것이다. 그러나 좌표계의 변화를 통해 전이량 f를 제거하고, 회전 운동 l과 운동량 P의 성분을 하나의 성분(예: z 방향 운동)으로 줄일 수 있다:
(125)
따라서 포인카레 군에 의해 묘사되는 물체는 초기에 다음과 같은 성질을 갖는다:
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에너지 E
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운동량 P
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고유 회전 운동량 l
회전 운동량은 질량 × 길이 × 속도의 곱이므로, 차원은 M·L²·T⁻¹이며, 플랑크 상수 h와 같은 차원을 갖는다.
수리물리학자 수리오(See: Structure des Système Dynamiques, Dunod 1973)가 개발한 기하학적 양자화 방법을 통해, 이 회전 운동량이 다음에 비례해야 함을 보일 수 있다:
(125b)
반정수 값(즉, 반정수)으로서, 이는 광자에 해당하는 1 또는 전자, 양성자, 중성자, 중성미자 및 그 반입자와 같은 다른 입자에 해당하는 1/2을 의미한다.
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