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질량이 없는 스핀 입자.
광자와 중성자와 같이 질량이 없는 입자들처럼 에너지와 운동량 사이에 직접적인 연결이 더 이상 존재하지 않는다.
(131)
m는 정지 질량을 나타내며, 이는 바르그만 군에서 나타나는 질량과 일치한다. 따라서 다음이 성립한다:
(132a)
(132b)
우리는 다음 입자들 및 그 반입자들에 국한하자:
질량이 있는 입자들.
입자들은 다음의 다양한 전하와 속성을 가지며, 이들은 파우린카르 군에서 유래하지 않는다:
- 전기 전하 e = ± 1
- 바리온 전하 cB = ± 1
- 렙톤 전하 cL = ± 1
- 뮤온 전하 cm = ± 1
- 타온 전하 ct = ± 1
- 자화비율 γ
이 모든 양의 부호를 반전시키는 것은 C대칭을 의미한다. 따라서 이를 다음 표와 같이 정리할 수 있다:
(133)
이것은 스핀과 마찬가지로 임의의 방향을 가질 수 있다.
자기모멘트는 자화비율 γ에 스핀 s를 곱한 값과 같다.
(134)
여기서 스핀을 굵은 글자 s로 표기하였다. 이는 입자의 스핀 방향이 임의일 수 있음을 의미한다. 반면 스핀의 크기는 입자의 고유한 특성이며, 본질적으로 불변하다(입자의 회전 운동의 기하학적 양자화).
C대칭, 즉 전하의 켤레 변환은 자화비율 γ를 반전시키므로 자기모멘트도 반전된다. 스핀은 그대로 유지된다.
영구자석.
강한 자기장 속에 연철 조각을 두었다가 그 자기장을 줄이면 금속은 영구 자성을 유지하게 된다. 어떤 일이 일어난 것일까?
자기장은 전자의 스핀을 정렬시킨다. 전자는 미세한 자석처럼 작용하며, 작은 자기 이중극자이다.
그러나 왜 이 스핀들이 강제로 주어진 방향을 유지하는 것일까? 이는 모방 효과 때문이다. 각 전자는 이웃 전자들이 만드는 자기장에 따라 정렬된다. 이웃 전자들이 모두 같은 방식으로 정렬되므로, 모든 자기모멘트는 평행 상태를 유지하게 된다. 마치 '공간적 파누르그'와 같다. 그러나 금속을 가열하거나 두드리면, 이 아름다운 전자 배열이 결국 무너지게 된다.
반물질의 자기모멘트.
전하 켤레 변환은 디랙의 의미에서 물질-반물질 변환과 관련되어 있으며, 자화비율 γ의 반전으로 인해 자기모멘트도 반전된다. 스핀은 그대로 유지된다.
물론 이 C대칭은 입자의 에너지나 운동량에는 영향을 주지 않는다.
로렌츠 군의 네 가지 성분.
앞서 보았듯이, 로렌츠 군의 원소 L은 공리적으로 정의된다. 다음 조건을 만족해야 한다:
(135)
(136)
이 정의를 만족하는 모든 행렬 L은 군 L의 원소이다. 이는 (4,4) 형식의 행렬이며, 예를 들어 다음에 작용할 수 있다:
(137)
즉, 시공간에 작용할 수 있다. 따라서 이러한 행렬이 이 시공간에서 대칭을 일으킬 수 있는지 궁금해질 수 있다. 예를 들어 x를 -x로 바꾸는 것이 가능할까? 행렬들은 서로 다른 하위 집합으로 분류될 수 있을까? 어떤 것은 이러한 작용을 하고, 어떤 것은 하지 않을까?
오래전부터(영어로 말하자면 '수많은 아름다운 촛불이 켜졌을 때'), 이러한 문제를 탐구하여 로렌츠 군이 실제로 네 가지 유형의 행렬로 구성됨을 밝혀냈다.
Ln - 공간과 시간을 모두 반전시키지 않는 것들
Ls - 공간만 반전시키는 것들
Lt - 시간만 반전시키는 것들
Lst - 공간과 시간을 모두 반전시키는 것들
이러한 집합을 군의 '성분'이라 부른다. 따라서 로렌츠 군은 네 개의 성분을 가진 군이다.
지금 당장 각 성분에 속하는 행렬 네 개를 제시할 수 있다:
(138)
A_n = 1 (항등원)은 Ln에 속한다: 공간도 시간도 반전하지 않는다.
A_s는 Ls에 속한다: 공간을 반전시킨다.
A_t는 Lt에 속한다: 시간을 반전시킨다.
A_st는 Lst에 속한다: 공간과 시간을 모두 반전시킨다.
군(여기서는 로렌츠 군의 부분군)을 구성하려면, 고려 중인 형식(4,4)의 항등원 1을 포함해야 한다. 이 조건을 만족하는 것은 오직 Ln 집합의 행렬뿐이다. 이들은 로렌츠 군의 부분군을 이룬다. 이 집합이 군의 항등원을 포함하므로, 이를 '군의 항등 성분'이라 부른다. 나머지 집합은 부분군이 아니다(항등원을 포함하지 않기 때문이다).
참고:
(139)
A_t = -A_s
A_st = -A_n
따라서 Lo = Ln ∪ Ls로 정의할 수 있으며, 이는 로렌츠 군의 부분군이며, '동시성 군'이라 부른다[1]. 반면, Lac = Lt ∪ Lst는 군이 아니지만, 시간 반전과 관련된 성분들의 집합으로 '비동시성 군'이라 부른다[12]. 완전한 로렌츠 군은 다음과 같다:
(140)
L = Lo ∪ Lac
또한 다음 원소:
(141)
mL_o, 여기서 m = ±1
는 전체 군을 커버함을 알 수 있다.
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