13
포인카레 군의 네 가지 성분.
로렌츠 군으로부터 포인카레 군을 구성할 수 있으며, 이미 언급된 바와 같다:
(142)
이는 "시공간 이동 벡터"이다.
(143)
이 포인카레 군 역시 네 가지 성분을 가지며, 각각 로렌츠 군의 대응하는 성분과 관련된다.
위 그림은 군이 운동 공간에 작용하는 모습을 보여주고 있다. 그러나 흥미로운 것은 네 가지 성분이 운동량에 미치는 작용이다. 참고: Souriau, 구조적 동역학계, Dunod 1973 (또는 영문판 Birkhauser 1997), 제3장, 197쪽, 제목:
공간과 시간의 역전.
포인카레 군에 관련된 운동량의 성분을 다시 상기해보자:
E: 에너지
p: 운동량
f: 통과량
l: 회전량
Souriau의 표기법에 따라 다음과 같이 부르자:
- Lₙ: 로렌츠 군의 중성 성분
- Lₛ: 공간을 역전시키는 성분
- Lₜ: 시간을 역전시키는 성분
- Lₛₜ: 공간과 시간을 동시에 역전시키는 성분
이것은 시공간 이동이므로, 포인카레 군의 네 가지 성분은 다음과 같다:
gₚ(Lₙ, C): 중성 성분
gₚ(Lₛ, C): 공간 역전
gₚ(Lₜ, C): 시간 역전
gₚ(Lₛₜ, C): 공간과 시간 동시 역전
이제 운동량 성분에 미치는 영향을 살펴보자. 군이 운동량 공간에 작용하는 법을 나타내는 공식을 고려해야 한다:
(144)
여기서 P는 4차원 벡터이다:
(145)
분석할 행렬을 다음과 같이 쓸 수 있다:
(146)
여기서 l = ±1, m = ±1.
Lₙ = L(l = 1; m = 1)
Lₛ = L(l = -1; m = 1)
Lₜ = L(l = 1; m = -1)
Lₛₜ = L(l = -1; m = -1)
(147)
(148)
이제 회전량과 통과량에 대한 작용을 살펴보자.
(149)
그러나 우리가 관심 있는 경우는 C = 0이다 (150)
따라서 l' = l, f' = l m f
이로부터 다음을 도출할 수 있다:
(151)
gₚ(Lₙ, C):
E → E;
p → p;
f → f;
l → l
gₚ(Lₛ, C):
E → E;
p → -p;
f → -f;
l → l
gₚ(Lₜ, C):
E → -E;
p → p;
f → -f;
l → l
gₚ(Lₛₜ, C):
E → -E;
p → -p;
f → f;
l → l
역전은 항상 회전량 l을 변화시키지 않는다.
반면, 시간 역전과 에너지 역전(E → -E)은 동치이다.
회전량은 양자화되었을 때 스핀과 동치이다. 어떤 역전도 이를 변화시키지 않는다.
스핀(입자의 회전량 벡터의 크기로서)은 단지 하나의 수치일 뿐이다.
정지한 입자의 에너지는 mc²이다.
시간 역전은 질량 m의 역전과 동치이다.
공간 역전은 질량을 역전시키지 않는다.
포인카레 군의 두 번째 성분은 Souriau에 의해 '동조성'이라 불리며, 마지막 두 성분은 '반조성'이라 불린다.
그는 이 모든 것이 음의 질량 문제를 야기한다는 점을 지적한다. 물리학자들은 이 문제를 선호하지 않는다. 실제로, 에너지가 +mc²과 -mc²인 두 입자가 만나면 어떻게 되는가? 완전한 소멸이 일어난다. 이것은 단순한 물질-반물질 소멸(그 결과 광자 생성)이 아니다. 이 경우는 순수한 '무'를 만드는 현상이 될 것이다.
음의 질량 문제를 피하기 위해 Souriau는 두 가지 해결책을 제안한다. 첫 번째는 음의 질량을 가진 입자가 존재하지 않는다고 단정하는 것이고, 두 번째는 반조성 변환을 배제하는 것이다.
간단히 말하면:
- 신은 그 무한한 지혜 속에서...
이제 우리가 스스로의 작업을 시작할 기초가 되는 요소들을 정리해보자.
"군과 물리학"으로 돌아가기