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위의 내용에 적용:
(197)
다음과 같은 명백한 성질을 사용하였다: 행렬의 전치의 전치는 원래의 행렬이다.
따라서 전반적으로:
(198)
질량이 0이 아닌 입자를 생각해보면, 나는 항상 그 입자를 정지 상태와 비정지 상태의 지식의 나무에서, 운동량이 0인 상태로 뽑아낸 것으로 생각할 수 있다.
나는 또한, 입자가 운동하는 동안 그 입자를 따라가는 관성계에 위치함으로써, 이 이동을 상쇄할 수 있음을 알았다.
(199)
나는 에너지가 0인 정지 에너지 E₀를 갖는 입자를 취할 수 없다. 이는 물리적으로 의미가 없다. 그러나 나는 또한, 입자가 가상의 정지 상태에서도 자전(스핀)이 0일 수 없다는 것을 알고 있거나, 혹은 그렇게 알고 있어야 한다. 게다가, 이 자전, 즉 '스핀 벡터 s'는 항상 존재하며, 그 크기 s는 불변이며, 입자의 특성 중 하나이다. 이는 플랑크 상수의 감소된 값 h/2π의 반정수 배이다. 이는 수학자 수리아우가 고안한 '기하학적 양자화'의 결과이기도 하다.
항상 기하학적인 관점에서...
이러한 '속성'들은 위에서 언급한 비상대론적 속성보다 다소 더 혼란스럽다.
하지만 주목해야 할 점은, 이러한 '기하학적 양자화'는 상대론적이지 않은 세계(바르그만 군)에도 적용된다는 것이다. 이는 입자나 질점, 혹은 그룹에 의해 다루어지는 어떤 대상에 대해 자전, 개별 운동량, '소용돌이성', 스핀 등과 같은 양을 양자화한다. 이름은 다를 수 있지만, 방향은 변할 수 있지만:
내 크기 s는 건드리지 마라.
이 모든 것은 추가적인 변수 z를 통해 이루어지며, 일부 이론가들과 수학자들은 이를 '계산의 중간 단계'로 간주한다.
그러나 이 5차원 공간에서:
z, x, y, z, t
에서 우리는 이동한다.
다음과 같은 것은 문제 없이 수행할 수 있다:
x → -x
y → -y
z → -z
이는 P-대칭을 의미한다. 만약 점입자에 적용하는 것이 아니라, 서로 연결된 점들의 집합에 적용하면, 구조는 그 엔안티오모르프(거울상) 형태로 변환된다. 그러나 고립된 입자에 대해서는 단지 '다른 운동'일 뿐이다.
항상 5차원 공간 안에서 살펴보면, 몇 가지 속성이 도출되었다.
비상대론적 경우:
- 질량 m
- 에너지 E
상대론적 경우:
- E와 m이 하나의 실체 안에 서로 얽혀 있다.
이들은 단순한 스칼라이다. 수학자는 이들이 양수이든 음수이든 선택 가능하다고 말할 것이다. 이는 특정한 운동량 공간에서의 선택이며, 이 공간은 n개의 매개변수에 따라 달라진다(n은 군의 차원과 같다). 포앵카레 군(확장되지 않은 경우)에 관련된 운동량의 경우:
(200)
Jp = { E, p, M }
매개변수는 이론적으로 양수이든 음수이든 가능한 모든 값을 가질 수 있다.
J를 운동량을 정의하는 매개변수들의 집합이라 하자. J는 운동량 공간이다. 이 공간에서는 두 영역을 구분할 수 있어야 한다:
(201)
군은 이 공간 위에 존재하며, 다양한 이동을 보장한다. 따라서 이 군은 운동을 서로 변환할 수 있는 요소들을 포함한다. 수리아우가 말했듯이:
운동량은 운동을 따라가는 그림자처럼 따른다.
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