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문제를 좀 더 확장하기 위해, 이러한 궤적들을 ... 어떻게든 생각해볼 수도 있다.
(205)
각각 질량 m을 가진, 서로 다른 속도를 갖는 입자들에 대해, 운동량 공간 내의 한 점이 대응된다. 그러나 이러한 입자들 사이에는 공통점이 있다. 모두 같은 질량 m(그리고 같은 스핀 등)을 갖는다.
따라서 이들 운동 M1에서 M2로 전환하는 군의 작용이 존재한다. 이는 군에 의해 "조종되는" 공액 작용이다.
(206)
이전 두 그림에서 나는 더 큰 구로 표시된 개체를 그렸으며, 이는 어떤 운동을 하고 있는 상태를 나타낸다. 구의 크기는 질량이 다른 입자의 운동임을 암시한다. 그러나
그것 또한 운동이다.
이 수학적 개체, 즉 '운동'은 운동 공간에 속한다. 따라서 운동량 공간 J에도 그 이미지가 존재한다.
그러나 질량이
m
m
인 이 입자는 다른 입자들과 같은 종류가 아니다. 질량이 m인 입자와 질량이
m
인 입자를 식별할 수 있는 군 작용은 존재하지 않는다(여기서는 바르그만의 동역학 군을 다루고 있다). 왜냐하면 공액 작용은 다음과 같이 주기 때문이다:
m' = m
질량 보존.
(x,y,z,t) 공간에서 점입자는 시공간의 어디에나 존재할 수 있다. 시간 t에 점 (x,y,z)에 질량이 임의이고, 전하가 임의인 입자가 존재할 수 있다. 따라서 이 공간은 입자를 종류별로 분류하거나, 마치 '상자'에 넣듯 정리하는 데 사용할 수 없다.
물리학자라면 아마도 정지한 입자들을 분류하려고 할 것이다. 이는 에너지 스펙트럼 E₀, E₁, E₁ 등과 대응된다.
만약 '역학적으로' 분류한다면, 에너지를 분류하는 것이 아니라,
운동을 분류하게 된다.
분석 대상은 군에 의해 다루어지는 모든 입자의 운동들의 집합이다. 이 경우 공액 작용을 분석 도구로, 체질기처럼 사용하게 된다.
그림을 바꿔보자.
군 G의 원소 g를 하나 주면, 이는 공액 작용을 유도하여 운동량의 변화를 결정한다. 개략적으로 다음과 같다:
(207)
군은 운동을 바꾸는 데 사용된다. 운동량 공간 내에서 한 점 J₁에서 다른 점 J₂로 이동하게 된다. '물리적 공간'에서는 운동이 바뀌는 것이다.
당신도 자신을 바꾸고, 운동을 바꾸어라.
모든 어려움은 언어적으로 발생한다. 수학자와 물리학자가 '운동'이라는 말을 서로 다르게 정의하기 때문이다. 물리학자에게 운동은 '펼쳐지는' 것을 관찰하는 것이다. 수학자에게는:
-
또는 이미 모두 펼쳐진 것
-
또는 운동량 공간의 한 점.
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