소리외의 작업에 대한 묘사
태양계의 역학에 관한
자크-마리 소리외의 연구
이 연구는 1989년 제네바 천문대에서 열린 학술 회의에서 소리외가 발표한 것으로, 주제는 다음과 같았다:
"태양계 내의 공명과 비공명"
소리외의 연구는 각 행성의 궤도 주기 분석에서 시작한다. 그는 지구의 주기 365일과 금성의 주기 225일을 선택하여, 피보나치 수열(또는 피보나치 유사 수열, 즉 각 항이 앞의 두 항의 합으로 이루어진 수열)을 전후로 계산한다. 이러한 조건 하에서 이 수열의 연속된 두 수의 비율은 황금비로 수렴함을 알고 있다.
소리외는 다음과 같은 결과를 얻었다:
30
태양
(29일)
55 아무것도 없음
85
수성
(88일)
140 아무것도 없음
225 금성 365 지구
590 (1년 7개월)
화성
(1년 10개월)
955 아무것도 없음
1545 (4년 3개월)
세레스-팔라스
(소행성대)
2500 아무것도 없음
4045 (11년)
목성
(11년 10개월)
6545 아무것도 없음
10590 (29년)
토성
(29년 5개월)
17135 아무것도 없음
27725 (76년)
우라누스
(84년)
44860 아무것도 없음
72585 (199년)
해왕성
(165년), 플루토 (248년)
매우 놀라운 일치라 할 수 있겠다. 소리외는 이후 행성들 사이의 공명 관계를 연구한다. 이를 위해 두 주기의 비율 x(0과 1 사이)가 어떤 기약분수에 "가까운지"를 측정하는 테스트가 필요하다.
이러한 테스트는 이미 수학자들(리우빌, 허르비츠, 보렐 등)에 의해 오래 전에 개발되었다. 그 테스트는 다음과 같은 수치로 주어진다:
q
(x, q) = (분모)² × |x - q|
여기서 q는 유리수 전체 집합을 따라 움직일 때 x의 하한값을 의미하며, x가 유리수이면 q는 0이 되고, x가 유리수에 가까울수록 q는 작아진다. 따라서 q는 x의 무리수 성질을 측정한다. 가장 "무리수적인" 수는 황금비:
w = (√5 - 1)/2 ≈ 0.6180...
그리고 그 제곱:
w² = 1 - w ≈ 0.3820...
이를 그림 1에서 보여주는 함수 q(x)의 그래프를 통해 확인할 수 있다.
그림 1: 함수 q(x)의 그래프
두 개의 뾰족한 피크가 있으며, 이는 가장 "공명이 적은" 수들, 즉 황금비와 그 제곱에 해당한다.
이 함수 q는 관측 데이터와 아무런 관련이 없으며, 순수한 수학적 객체이다. 실수의 연속 수열에서 유래된 성질이다. 이 연속적인 수열은 마치 빈 공간들이 있는 이상한 스펙트럼을 만들어내며, 정수 비율(즉 유리수)이 위치하는 곳에서는 q = 0이 되는 특이점들이 나타난다.
아래는 태양계 주요 행성들의 공전 주기(년 단위):
수성: 0.2408425
금성: 0.6151866
지구: 1.0000000
화성: 1.8808155
세레스-팔라스: 4.604
목성: 11.86178
토성: 29.45665
우라누스: 84.0189
해왕성: 164.765
플루토: 247.68
플루토와 해왕성의 주기 비율은 다음과 같다:
이 비율에서 각 항과 다음 항의 비율은 1/3과 2/3 사이에 항상 존재한다. 이 9개의 비율 중 5개는 0.35에서 0.40 사이에 있다. 소리외는 이후 서로 다른 행성들의 주기 비율을 분석하기 시작한다. 완전한 공명 상태에 있는 두 행성은 주기 비율이 유리수가 되므로, 두 정수의 나눗셈 결과가 된다.
소리외는 현재 태양계에서의 다양한 공명 관계를 분석하기로 결정한다. 이를 위해 주요 행성들의 공전 주기 쌍을 하나씩 비교하고, 앞서 언급한 테스트를 적용한다.
간단한 계산을 통해, 분모가 6일 때 q 값이 0.1 미만인 대행성들 사이의 공명 목록을 도출할 수 있다. (세레스와 팔라스는 가장 큰 소행성이며, 주기 차이가 단 3일에 불과하며 소행성대에 위치한다.)
해왕성-플루토: x = 2/3 × 0.9980, q = 0.01
우라누스-해왕성: x = 1/2 × 1.0199, q = 0.04
우라누스-플루토: x = 1/3 × 1.0176, q = 0.05
금성-화성: x = 1/3 × 0.9812, q = 0.06
목성-토성: x = 2/5 × 1.0067, q = 0.07
이 표는 가장 멀리 떨어진 두 행성인 해왕성과 플루토가 특히 두드러진 공명을 보임을 보여준다. 따라서 이 둘은 다른 행성들과는 별개의 쌍으로 간주되며, 이후 분석에서는 이를 제외하기로 한다. 이후 소리외는 주기들에 대해 푸리에 분석을 수행한다.
Pj는 수성에서 우라누스까지 각 행성의 주기를 의미한다. 연속된 주기 비율은 1/3과 2/3 사이에 있다. 아래 그림은 a가 1/3에서 2/3 사이에서 변할 때, |F(a)|의 형태를 보여준다. 가독성을 높이기 위해 소리외는 그래프에 |F(a)|의 값을 4배로 확대하여 표시하였다.
그림 2: 함수 F(a)
0.615와 0.380의 값에서 두 개의 의미 있는 피크가 나타나며, 이는 그림 1의 피크(φ ≈ 0.618, φ² ≈ 0.380)와 정확히 일치한다. 소리외는 이 스펙트럼을 함수 q와 겹쳐보았다.
그림 3.
그 결과, 해왕성-플루토 쌍을 제외하고는 전반적으로 비공명 상태임을 결론지었다. F의 두 피크 사이의 위상차는 역 푸리에 변환을 통해 해석할 수 있다. 즉, 스펙트럼 F에서 선택된 일정 수의 선 ak를 기반으로 함수 F를 구성할 수 있다.
이때 Pj의 값은 F의 실수부의 특정 최대값 근처에 위치하게 된다. 소리외는 이 스펙트럼을 두 개의 선 a₁ = φ와 a₂ = φ²로 제한하고, 아래 그림과 같은 곡선을 얻었다. 이 곡선에는 실제 행성들의 주기도 함께 표시되어 있다.
그림 4: 두 선 φ와 φ²로부터 구성된 스펙트럼을 기반으로 한 행성의 가능성 있는 위치 P