군에 대한 새로운 공리체계

수리오
아이크 올드타운에 아파트를 가지고 있다. 거리로 나가는 문은 매우 화려하다.
입구에는 아주 특이한 차량이 주차되어 있다.
바로 옛날식 인부들이 사용하던 문틀의 의자인데, 이곳의 주인인 한 젊은 여성, 고고학자인 듯하다가 소유하고 있다. 의자는 벽에 기대어 있다. 이제 두 명의 인부를 찾아내어, 나무 기둥을 두 개를 두 개의 고리에 끼워 넣고, 그 위에 앉아서 산책을 떠나면 된다. 창문은 유리로 되어 있으며, 측면의 유리는 손잡이로 내리지 않고, 가죽 끈을 조정함으로써 내릴 수 있다. 마치 내가 어릴 적 기차의 객차에서 본 방식과 같다.

이 모든 것이 꿈꾸게 만든다. 나는 내가 한 번도 의자 타고 다닌 적이 없다는 것을 깨닫는다. 지금 실업이 만연한 시대에, 아이크 올드타운에서 처음으로 정기적인 의자 타고 다니기 운행을 시작할 수 있는 사람들이 생길 수 있을 것이라 확신한다. 단지 옛날 의자처럼 생긴 차량을 만들면 된다. 그리 어렵지 않을 것이다. 그다음, 꿈을 꾸는 것만으로도 충분하다. 두 벌의 장식된 옷과 두 개의 가발을 구입하면 된다. 출발! 경로는 미라보 코르스이다. 충분히 가능하다. 이후에는 꿈을 꾸고, 약간의 상상력을 갖는 것만 있으면 된다.

장-마리
고양이 피움과 함께 넓은 아파트에서 혼자 산다. 아파트는 금박과 나무 장식으로 가득 차 있다. 피움은 정말 사랑스럽다. 그러나 나는 고양이에 별로 매력을 느끼지 못한다. 다만 이 고양이는 매우 친절하고 애정이 넘친다.

보통 우리는 위층의 주방에서 일한다. 지붕 아래 작은 방인데, 아래층의 거대한 방들과는 상반된 좁은 공간이다. 장-마리가 나에게 항상 그의 최애 음료를 마시게 하려고 애쓴다. 바로 아티초크를 기반으로 한 페르뇌-브랑카인데, 나는 정말 끔찍하다고 생각하지만, 그는 이것에 모든 효능을 부여한다.

도시를 산책할 때마다 그는 GPS를 항상 들고 다닌다. 실제로, 4만 킬로미터 떨어진 위성들이 자신이 걷는 길의 거리에서 어떻게 안내를 해주는지 보는 것은 정말 매력적이다. 수신을 더 잘 받기 위해 수리오는 거리의 중심선을 따라 걷고, 액정 화면을 뚫어지게 바라본다. 효과는 있는 듯하지만, 여전히 다소 위험하다.

나는 우리가 함께 즐거운 시간을 보내고 있다고 생각한다. 12월 어느 밤, 나는 그를 찾아가서 다음과 같은 대화를 나누었다.

• 나는 너에게 그룹에 대해 이야기할 거야. 공리들을 기억해?

• 응, 6개 있어. 바로:

1 - 어떤 집합 E에 속한 원소 a, b, c, ...가 존재한다.

2 - 집합 내부에서 작용하는 연산 o(원형)이 존재하여, 집합의 두 원소를 결합할 수 있다.

a는 집합 E에 속한다.

b는 집합 E에 속한다.

a o b는 집합 E에 속한다.

3 - 이 연산은 결합법칙을 만족한다:

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 항등원 e가 존재하여, 다음을 만족한다:

a o e = e o a = a

5 - 집합의 모든 원소 a는 역원 a⁻¹이 존재하여, 다음을 만족한다:

a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e

이게 다섯 개?

• 결국 다섯 개, 네 개, 아니면 하나일 수도 있다. 공리의 번호 매기는 데는 절대적인 규칙이 없다. 오히려 공리 1과 2를 하나로 묶을 수도 있다:

• 집합 E에 속한 원소 a, b, c 등이 존재하며, 내부 연산 o가 다음을 만족한다:

a는 집합 E에 속한다.

b는 집합 E에 속한다.

a o b는 집합 E에 속한다.

이는 동치이다.

• 좋아, 다섯 개든 네 개든 상관없어. 어디로 가려는 거야?

• 내가 4번과 5번 공리, 즉 항등원과 역원을 정의하는 공리를 제거하고, 샌드위치 공리로 대체하겠다. 총 공리는 다음과 같다:

1 - 어떤 집합 E에 속한 원소 a, b, c, ...가 존재한다.

2 - 집합 내부에서 작용하는 연산 o(원형)이 존재하여, 집합의 두 원소를 결합할 수 있다.

a는 집합 E에 속한다.

b는 집합 E에 속한다.

a o b는 집합 E에 속한다.

3 - 이 연산은 결합법칙을 만족한다:

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 집합 E에 속한 세 원소 a, b, c가 있다.

다음 방정식이 존재한다:

a o y o b = c

이 방정식은 유일한 해 y를 가진다.

이것이 내가 '샌드위치 공리'라 부르는 것이다. 여기서 '햄'인 y는 원소 a와 b 사이에 끼워져 있으며, c는 전체 샌드위치를 의미한다. 이 공리는 다음과 같이 의미한다:

항상 샌드위치에서 햄을 꺼낼 수 있다.

그리고 나는 이 공리들이 그룹을 정의한다고 말한다. 이 공리들은 이전의 공리들과 동치이다.

• 이 유일한 해 y는 집합 E의 원소이다. 왜냐하면 연산이 내부적이며 결합법칙을 만족하기 때문이다.

• 물론, 당연한 말이다.

• 하지만 말로 표현하는 것이 더 좋다. 어떻게 네가 항등원과 역원에 대한 두 공리를 다시 찾을지 모르겠지만, 적어도 네가 이 아이디어를 떠올리게 된 이유는 이해한다.

• 나는 '이게 왜 필요할까?'라고 생각했다.

• 정확히 그렇다. 항등원이 왜 필요할까? 그 자체로는 '내가 집합 E와 항등원을 가졌을 때, 그 집합의 모든 원소를 이 항등원과 결합해도 그 원소 그대로가 나온다'는 의미다. 나한테는 별로 도움이 안 된다. 마찬가지로 역원 자체가 왜 필요할까? 그룹의 계산을 할 때, 어떤 사물에 대해 계산을 할 때, 항상 오른쪽이나 왼쪽으로 원소나 그 역원을 곱해, a o a⁻¹ 또는 a⁻¹ o a를 만들어 e로 바꾸고, b o e 또는 e o b를 b로 바꾸는 식으로 해결해 나간다. 네가 제안한 샌드위치 공리는 '기능적'이다.

• 원한다면 그렇게 부르자. 샌드위치 공리에서 도출되는 정리로 넘어가자. 첫 번째 정리는 다음과 같다:

I - 항등원이 존재하며, 자기 자신과 결합했을 때 자기 자신을 만든다:

e = e o e

II - 이 항등원은 유일하다.

증명:

샌드위치 공리를 이용하자. 방정식

a o y o b = c

는 유일한 해 y를 가진다.

이것은 b = c = a일 때도 성립하므로,

a o y o a = a

는 유일한 해를 가진다. 오른쪽으로 y를 곱하자:

a o y o a o y = a o y

a o y = e 라고 하자.

이는 집합의 원소이며, a와 y가 집합에 속하고 연산이 내부적이므로 성립한다. 따라서 다음을 만족하는 집합의 원소가 존재한다:

e o e = e

따라서 정리 I는 증명되었다. 이제 정리 II, 유일성에 대해 살펴보자. 만약 유일성이 없다면, 또 다른 원소 f가 존재하여 다음을 만족할 것이다:

f o f = f

다음과 같다:

e o e = e

오른쪽으로 f를 곱하자:

e o e o f = e o f

다시 오른쪽으로 e를 곱하자:

e o e o f o e = e o f o e

결합법칙을 이용하자:

e o (e o f) o e = e o f o e

이 두 식은 모두 샌드위치이다. 각각 p = e o (e o f), q = e o f o e 라고 하자.

샌드위치 공리에 따르면, '햄을 꺼낼 수 있다'는 의미로, (e o f)와 f의 값을 계산할 수 있으며, p = q이므로 두 값은 같다. 따라서:

(e o f) = f

다시 두 번째 원소 f에 대한 가정에서 시작하자:

f o f = f

오른쪽으로 e를 두 번 곱하자, 왼쪽으로도 두 번 곱하자:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

결합법칙을 이용하자:

e o (e o f) o f = e o e o f

두 번째로 샌드위치 공리를 이용하면:

e o f = e

따라서:

e = f

정리 III: 이 원소 e를 '자신의 제곱과 동일한 원소'라 하자. 그러면 다음이 성립한다:

a o e = a

증명:

항상 샌드위치 공리를 이용하자. e의 정의에서:

e o e = e

오른쪽으로 a와 e를 차례로 곱하자:

e o e o a o e = e o a o e

결합법칙을 이용하자:

e o (e o a) o e = e o a o e

따라서:

e o a = a

다시:

e o e = e

왼쪽으로 a와 e를 차례로 곱하자:

e o a o e o e = e o a o e

결합법칙을 이용하자:

e o (a o e) o e = e o a o e

따라서:

a o e = a

정리 III는 증명되었다.

정리 IV로 넘어가자.

(역원의 존재, a⁻¹로 표기)

명제: 집합의 원소가 주어졌을 때, 다음 방정식의 유일한 해가 존재한다:

a o y o a = a

이 해를 a⁻¹라 표기하고, 이를 a의 역원이라 부르자. 이 원소는 다음 성질을 만족한다:

a o a⁻¹ = e

a⁻¹ o a = e

증명:

이 원소의 존재와 유일성은 샌드위치 공리에서 직접 도출된다. 다음과 같이 공리를 표현하면:

빵 조각이 서로 같고, 샌드위치와도 같을 때, 햄은 빵 조각(또는 샌드위치)의 역원이 된다.

a o y o a = a

결합법칙을 두 가지 방식으로 적용할 수 있다:

(a o y) o a = a

a o (y o a) = a

이제 다음을 안다:

e o a = a

a o e = a

따라서 해 y는 다음을 만족한다:

a o y = e

y o a = e

이 해가 유일하다는 것을 보이자. 만약 그렇지 않다면, 다른 해 z가 존재하여:

a o z = e

z o a = e

첫 번째 식을 왼쪽으로 y를 곱하자:

y o a o z = y o e

(y o a) o z = y

하지만 y o a = e 이므로:

z = y

이 해를 a⁻¹이라 부르며, 다음 유일한 방정식의 해이다:

a o a⁻¹ o a = a

따라서 새로운 공리 체계는 기존의 공리 체계와 동일한 성질을 갖는다.

따라서 우리는 이 새로운 공리 체계를 이용해 그룹을 정의할 수 있다:

그룹의 정의:

1 - 어떤 집합 E에 속한 원소 a, b, c, ...가 존재한다.

2 - 집합 내부에서 작용하는 연산 o(원형)이 존재하여, 집합의 두 원소를 결합할 수 있다.

a는 집합 E에 속한다.

b는 집합 E에 속한다.

a o b는 집합 E에 속한다.

3 - 이 연산은 결합법칙을 만족한다:

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 집합 E에 속한 세 원소 a, b, c가 있다.

다음 방정식이 존재한다:

a o y o b = c

이 방정식은 유일한 해 y를 가진다.

만약 집합 E의 원소들이 내부 연산 o를 갖추고 있고, 이 네 개의 공리를 만족한다면, 나는 이 원소들이 그룹을 이룬다고 말한다.

정리: 항등원은 자기 자신과 역원이다. 이 새로운 항등원의 정의는 단 하나의 방정식을 사용하며, 이 성질에 대한 다른 증명 방식을 만들어낸다.

e o e = e

이는 특별한 원소 e의 정의이다. 그러나 샌드위치 공리에 따라 이 방정식은 역원의 성질(정의가 아니라)과 동일시된다.

다른 정리: 역원의 역원은 원래의 원소와 같다:

(a⁻¹)⁻¹ = a

a⁻¹ o a = e

a o a⁻¹ = e

a는 a⁻¹의 역원이다. 따라서 성질이 성립한다.

다음이 성립함을 보이자:

(a o b)⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹

다음과 같이 계산하자:

a o b o b⁻¹ o a⁻¹

그리고

b⁻¹ o a⁻¹ o a o b

이 두 값이 모두 e와 같음을 보이자.

a o (b o b⁻¹) o a⁻¹ = a o e o a⁻¹ = a o a⁻¹ = e

다른 식도 동일하게 증명 가능하다.

• 이것은 그룹 개념에 대한 새로운 접근이다.

• 그룹의 존재론.

• 원한다면.

• 그러나 이 아이디어가 결실을 맺을 것 같다는 느낌이 든다.

• 이제 모든 것을 잊어버려. 샌드위치 공리조차도. 집합 E에 결합법칙을 만족하는 내부 연산 o가 존재한다고 하자. 이 집합 안에 모든 다른 원소와 결합했을 때 항등원 역할을 하는 원소가 존재한다고 가정하자:

a o e = e o a = a

• 이 원소는 유일한가?

• 존재한다면 반드시 유일하다. 이는 증명할 수 있다.

• 아, 그렇다.

• 내가 두 원소 a와 b가 서로 역원 관계에 있다고 말할 것이다. 즉, a o b = b o a = e일 때. 만약 a가 주어지면, b는 그의 역원이다. 나는 만약 집합을 역원을 가지는 원소들로 제한하면, 그 부분집합은 그룹을 이룬다고 말한다. 이것은 그룹을 구성하는 한 가지 방법이다. 즉, 집합에서 이 성질을 만족하는 원소들을 선택하고, 이 부분집합이 그룹을 이룬다고 말할 수 있다.

이 성질이 내부적임을 보여야 한다.

• 무슨 말이야?

• 두 원소 a와 a'가 이 성질을 만족한다고 하자. 즉,

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a는 역원 b를 가지며, a'는 역원 b'를 가진다. 따라서 이들은 해당 부분집합에 속한다. 이제 a o a'도 역원을 가진다는 것을 보여야 한다.

이 '원형' 기호를 제거하자. 무거운 것이다.

a' o b' = e

왼쪽으로 a를, 오른쪽으로 b를 곱하자:

a a' b' b = a e b = a b = e

따라서:

(a a')(b' b) = e

다시:

b a = e

왼쪽으로 b'를, 오른쪽으로 a'를 곱하자:

b' b a a' = b' e a' = b' a' = e

(b' b)(a a') = e

따라서 a와 a'가 각각 역원을 가지는 원소일 때, 그들의 결합인 a o a'도 역원을 가진다.

• 이제 이 부분집합이 실제로 그룹을 이룬다는 것을 보여야 한다.

• 이를 위해, 이 부분집합이 샌드위치 공리를 만족함을 보이겠다. 즉,

a o y o b = c

는 유일한 해 y를 가진다.

• 이해한다. 공리적으로, 방금 전과 반대로 접근한다. 앞서는 샌드위치 공리를 주고, 그로부터 역원의 존재를 보였다. 지금은 집합의 원소들이 모두 역원을 가진다고 가정하고, 이 성질을 이용해 샌드위치 공리를 다시 도출해내려는 것이다.

• 방정식이 유일한 해를 가짐을 보이는 가장 좋은 방법은 그 해를 직접 구성하는 것이다. 위의 방정식을 왼쪽으로 a⁻¹, 오른쪽으로 b⁻¹을 곱하자.

a⁻¹ a y b b⁻¹ = a⁻¹ c b⁻¹

(a⁻¹ a) y (b b⁻¹) = a⁻¹ c b⁻¹

y = a⁻¹ c b⁻¹

• 따라서 y는 방정식 a o y o b = c의 해이다.

구성된 해를 대입하면:

a (a⁻¹ c b⁻¹) b = c

이 과정에서 괄호를 자유롭게 조작할 수 있다는 것을 전제로 한다. 결합법칙을 일반화한다. 우리는 (공리 중 하나로) 연산 시퀀스에서 두 원소를 분리할 수 있다고 가정했다.

a o b o (c o d)

a o (b o c) o d

(a o b) o c o d

(a o b) o (c o d)

세 원소를 두 괄호 사이에 포함하는 것이 허용되는지 보여야 하지만, 이는 증명 없이 받아들이기로 하자.

응용:

실수 집합에 곱셈 x를 내부 연산으로 두자. 이 연산은 내부적이지만, 이 새로운 공리 체계에 따르면 그룹이 아니다. 왜냐하면 항등원을 정의하는 방정식

e o e = e

가 두 해를 가지기 때문이다:

e = +1 및 e = -1

이전의 구성 방식을 고려하자. 실수 집합을 주고, 결합법칙을 만족하는 내부 연산(곱셈)을 가진다. 이 집합은 항등원 1을 가지며, 이는 e o e = e의 해로 정의되지 않고, 모든 원소와 결합했을 때 그 원소를 그대로 돌려주는 원소로 정의된다. 즉, 고전적인 정의:

모든 a가 집합 E에 속할 때,

e o a = a o e = a

이 성립한다.

고전적인 역원 정의에서 시작하자:

a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e

우리는 역원을 가지는 원소들의 부분집합이 그룹을 이룬다는 것을 보였다. 따라서 0을 제외한 실수는 그룹을 이룬다.

n×n 정사각행렬을 생각하자. 이들은 항등원을 가진다:

대각선에는 1이 있고, 나머지에는 0이 있다.

역행렬을 가진 행렬들은 그룹을 이루며, 이를 선형군 GL(n)이라 부른다.

• 나에게는 이 모든 것이 마음에 든다.

• 흠... 이것은 고전적인 공리 체계의 변형일 뿐이다. 나는 이 내용을 일주일 전 그레노블에서 열린 인식론 회의에 제시했다.

이어짐