크로스 캡 표면을 보이 표면(좌우 선택 가능)으로 바꾸는 방법
스테이너의 로마 표면을 거쳐서.
이탈리아어: 안드레아 산부세티, 로마 대학교
2003년 9월 27일 - 10월 25일
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아래는 가상 현실 이미지에서 발견했을 것 같은 '크로스 캡 표면'입니다. 이 표면은 자가교차선의 꼭짓점이 되는 두 개의 촉점이 있습니다. 이 표면은 편지용 클립으로 풍선을 눌러 만들 수 있습니다. 또한 다면체 형태의 표현도 만들 수 있습니다. 아래 그림은 특히 주목할 만합니다.
표 4에는 배우기 가장 어려운 부분이 있습니다. 단순히 그림만 보고 이 물체를 제대로 이해할 수 있다고 생각하는 것은 불가능해 보입니다. 모형을 만들어 보세요. 간단히 말해, 촉점 C2를 표면의 "내부"로 끌어당깁니다. (여기서 주의할 점은, 분명히 눈치챘겠지만, 크로스 캡 표면은 단면이므로 외부와 내부가 구분되지 않습니다.) 계속해서 끌어당기면 표면이 스스로를 교차하게 되고, 자가교차 집합은 약간 둥글게 만들어져서 8자 모양의 곡선을 형성합니다. 참고로, 이 과정에서 삼중점 T가 생깁니다.
이 표면은 다면체 형태로 보는 것이 더 이해하기 쉽습니다. 아래에서는 특정 요소를 확대하여, 이 물체를 스테이너의 로마 표면으로 변형하게 되는 이유를 보여줍니다(가상 현실 시뮬레이션 참조). 가장 간단한 다면체 형태는 네 개의 정육면체를 조합하는 것입니다(여기에서는 세 개만 보입니다).
표 5: 왼쪽은 다면체 형태, 오른쪽은 둥근 형태. 화살표는 우리가 '조여야 할' 점을 지나갑니다. 아래에는 조여짐 작업의 시작 부분을 보여줍니다.
표 6: 조여짐이 이루어지고 특이점 B를 만듭니다. 실제로, 양쪽에서 동시에 조여지기 때문에 두 개의 특이점 S1과 S2가 생기고, 그 다음 두 개의 촉점이 생깁니다. 이 시점에서 카드보드, 가위, 테이프 없이선 정말 어려운 상황입니다.
표 7: 여기서는 다양한 촉점을 이동시켰을 뿐입니다. C2가 '명확하게 보일 수 있다면', C3과 C4가 촉점임을 인식하는 데는 더 어려움을 느낄 것입니다. 그러나 이들은 자가교차선의 끝에 존재합니다. C3 위에는 단순히 제가 '포지코노'라고 부른 것, 즉 양의 곡률이 모이는 점입니다(음의 곡률이 모이는 점은 '네가코노'라고 부릅니다). 이 물체를 약간 변형하면, 스테이너가 로마에서 고안한 로마 표면의 다면체 형태에 도달합니다(가상 현실 이미지 참조).
이제 게임은 끝났습니다. 규칙에 따라 다양한 종류의 표면이 존재합니다. 자가교차하지 않는 표면은 '임베딩'(3차원 공간 R3에서 구나 토러스의 임베딩)이라고 합니다. 반면 자가교차하지만 접선 평면이 연속적으로 변하면서 붕괴되지 않는 경우는 '임머전'이라고 합니다. 예를 들어, 고전적인 클라인 병의 표현이 이에 해당합니다. R3에서는 클라인 병을 임베딩 형태로 표현할 수 없습니다. 반드시 자가교차하게 됩니다. 임머전은 촉점이 없는 자가교차 집합을 가집니다. 이러한 집합은 연속적인 곡선이지만, 이중점이나 삼중점에서 교차할 수 있습니다. 참고: 구는 자가교차시켜 임머전 형태로 표현할 수 있습니다. 실제로 이 방법을 통해 구를 뒤집을 수 있습니다(1967년 A. 필립스의 방법, 중심 단계는 보이 표면의 이중 피복; 또한 1979년 B. 모린과 J.P. 페티의 연구 참조, 중심 모델로 모린의 '네 귀 모델'을 사용, 아래는 제가 약 10년 전에 고안한 다면체 표현).
이 물체를 종이와 가위로 조립하는 방법
이러한 규칙을 확장하여 촉점도 허용한다면, '서머머전'이라는 새로운 종류의 표면이 생깁니다(크로스 캡 표면, 스테이너의 로마 표면). '서머머전'이라는 용어가 정확한지 확신은 없지만, 이에 대해 설명해 줄 수 있는 수학자가 없었기 때문에, 임시로 제가 만들어 본 것입니다. 최소한 전문 기하학자가 등장할 때까지는 이렇게 부르겠습니다. 따라서 크로스 캡 표면과 스테이너의 로마 표면은 '사영 평면'의 서머머전입니다.
솔직히 말하면, 25년간의 활동과 자기자신의 자기 마그네토유체역학에 대한 실망을 겪은 후, 이 작업을 시작한 이유는 군사적 응용과 가장 거리가 먼 것 같았기 때문입니다. 그러나 오래된 친구인 민이 지적했듯이, '서머머전'이라는 용어는 혼동의 소지가 있으며, 해군이 이 연구를 통해 잠수함 추진 기술의 진보를 숨기려 한다고 오해할 수 있습니다.
촉점 쌍의 '생성-해체' 규칙을 통해 한 서머머전에서 다른 서머머전으로 변환할 수 있으며, 우리는 방금 그 과정을 보여주었습니다. 즉, 크로스 캡 표면과 스테이너의 로마 표면은 모두 동일한 물체인 '사영 평면'의 서머머전임을 보여준 것입니다.
'사영 평면'을 상상하려 하지 마세요. 이 물체는 다양한 표현을 통해만 이해할 수 있습니다. '사영'이라는 용어는 수학자들이 자기들만의 비밀 동맹에 들어오려는 사람들을 혼란스럽게 하기 위해 고안한 수천 가지 용어 중 하나일 뿐입니다. 잔니첼리 사전은 수학에서는 아무런 도움이 되지 않습니다.
그러므로 이제 사영 평면의 임머전인 보이 표면으로 넘어가는 방법을 살펴보겠습니다.
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