이탈리아어
: 안드레아 산부세티, 로마 대학교
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1:1 스케일의 모델 도면을 표시하여 인쇄하고 자르세요.
두 가지 다른 색상의 브리스톨 카드지에 4개의 복사본을 만들어
조립 지침에 따라 직접 모델을 만들 수 있습니다.
이 사이트의 처음 페이지 왼쪽에 끊임없이 회전하는 이상한 물체를 보셨을 겁니다. 이것은 무엇일까요?
언젠가 시간이 생기면, 이 사이트에 1979년 1월 'Pour la Science'에 제가 그림으로 설명했던 구의 뒤집기(역전)에 대한 설명을 게시할 것입니다. 그때는 이미 22년 전이었죠! 이 설명은 많은 세부 사항과 서론이 필요합니다. '구를 뒤집다'는 말은 무엇을 의미할까요? 일반인과 수학자-기하학자에게는 구라는 개념이 다릅니다. 일반인에게 구는 고정된 점 O로부터 거리 R에 있는 공간의 모든 점들의 집합일 뿐입니다. 그러나 기하학자에게는 감자처럼 변형된 구와 같은 물체도 여전히 '구'라고 부릅니다. 이러한 개념을 더 정확히 이해하려면, 만화 'Topologicon'이 수록된 란투르루의 CD를 구입하세요. 그러나 수학자는 더 깊이 들어갑니다. 어떤 곡면이 각 점에서 접선 평면을 정의할 수 있을 때, 이를 '정칙'이라고 부릅니다. 이는 구의 무수한 정칙 변형이 가능하다는 것을 의미하며, 감자처럼 다양한 형태로 변형되며, 표면의 면적도 임의로 바꿀 수 있습니다. 그러나 현실 세계에서는, 구를 뒤집어 표면 내부를 바깥쪽으로 돌리는 시도는 자기 자신을 통과시킬 수 없기 때문에 불가능합니다. 이 경우, 표면이 자기 자신과 교차하거나 심지어 접촉하는 것을 금지하는 가정을 하면, 수학자는 이를 '구 S²의 임베딩(embedding)'이라고 말합니다. 그러나 수학자는 언제나 모든 가능성을 허용합니다. 수학자에게 구는 물리적인 것이 아니라 '가상의' 객체이며, 한 면이 다른 면을 통과하는 것은 가능하다고 간주합니다. 아래의 그림들은 자기 자신을 교차하는 구의 모습을 보여줍니다. 자기 교차를 허용하는 표현 방식을 '임베딩(immersion)'이라고 부릅니다.
따라서 임베딩은 자기 교차의 집합을 가집니다(여기서는 단순한 원형 곡선입니다). 그러나 접선 평면은 연속적으로 변해야 합니다. 위의 그림을 보면, 내부 표면(초록색으로 표현됨)이 바깥쪽으로 뒤집어지는 것을 잘 알 수 있습니다. 뒤집기를 완성하기 위해서는 이와 같은 적도부의 '장기'를 눌러야 합니다. 그런데 이 과정에서 문제가 생깁니다. 이 압축은 접선 평면의 연속성을 파괴하게 되며, 따라서 이 변형은 '임베딩'이 아니게 됩니다.
어느 날, 미국의 수학자 스티븐 스말이 "구 S²는 하나의 임베딩 클래스만을 가진다"는 것을 증명했습니다. 이 암시적인 문장의 결과는, 표준 구에서 그 반대점(antipodal) 표현, 즉 각 점이 그 반대점과 바뀌어 있는 표현으로, 진정한 임베딩만을 포함하는 변환을 통해 전환할 수 있다는 것이었습니다. 요컨대, 말하자면 '뒤집힌 구'입니다. 스말의 지도교수였던 라울 보트는 이 증명이 형식적으로는 옳다고 보았지만, 누구도 실제로 이 뒤집기 과정을 구현할 수 없다는 점에 놀랐습니다. 보트는 스말에게 계속해서 "어떻게 하면 되는지 보여줘"라고 요구했고, 스말은 유명한 말로 "정말로 전혀 모르겠다"고 답했습니다. 이후 스말은 수학계의 노벨상이라 불리는 필드상(Fields Medal)을 받았습니다. 참고로, 왜 수학에 노벨상이 없는지 궁금할 수 있습니다. 그 답은 간단합니다. 그의 아내가 수학자와 도망갔기 때문이죠.
이런 상태는 오랫동안 유지되었습니다. 그러다가 1967년, 미국의 수학자 앤서니 필립스가 '사이언티픽 아메리칸'에 이 뒤집기의 매우 복잡한 첫 번째 버전을 발표했습니다. 두 번째 버전은 70년대 초, 시각 장애를 가진 프랑스 수학자 베르나르 모린이 개발했습니다. 저는 이 변형의 순차적 과정을 처음으로 그렸으며, 이는 제가 이미 이 사이트에 소개한 다음 기사의 주제가 될 것입니다. 참고로, 이 기사는 매우 풍부한 내용을 담고 있습니다. 그러나 이 모든 것에서 중요한 점 하나를 생각해볼 수 있습니다. 곡면은 다면체 형태로 표현될 수 있습니다. 정육면체나 사면체는 같은 위상 구조를 가지므로, 구의 다면체 표현으로 볼 수 있습니다. 이 점에 대해서는 제가 만든 'Topologicon'을 참고하세요. 또한, 구를 뒤집는 것이 가능하다면, 정육면체도 마찬가지로 뒤집을 수 있다는 점을 알 수 있습니다. 베르나르 모린이 개발한 변형은 중심 모델을 거칩니다. 이 순서에는 대칭이 존재합니다. 저는 이를 '4개의 귀를 가진 중심 모델'이라고 부릅니다. 이 부분은 다소 앞서 말하는 것이지만, 구가 다면체 형태로 표현될 수 있듯이, 이 변형의 다음 단계도 마찬가지입니다. 제가 처음 페이지에 띄운 회전하는 것은, 약 10년 전 제가 개발한 구 뒤집기의 중심 모델의 다면체 형태입니다. 이러한 다면체 모델의 장점은 평면 표면으로 만들 수 있다는 점입니다. 또한 종이와 가위로도 만들 수 있습니다. 아래의 도면을 보세요(이 요소들을 정확한 크기로 제작해 준 제 친구 크리스토프 타르디에게 감사드립니다).
큰
여기 보이는 것은 조립 계획도입니다. 그러나 인쇄하기 위해서는 '자르기 페이지'로 이동하는 것이 좋습니다. 그 페이지를 인쇄하세요. 그런 다음 일반 프린터로 인쇄한 복사본을 4장 준비하세요. 그중 2장은 초록색 브리스톨 카드지에, 나머지 2장은 노란색에 복사하세요. 이렇게 자를 수 있는 종이를 이용해 정육면체 뒤집기의 중심 모델을 만들 수 있습니다.
자르기 위한 요소에는 a, b, c, d, e, f 등과 같은 알파벳 쌍이 있습니다. 동일한 알파벳이 겹치도록 종이를 접은 후, 투명 테이프로 면을 고정하면 됩니다. 다음 그림들은 네 개의 요소 중 하나를 조립하는 방법을 보여줍니다. 먼저 네 개의 요소 중 하나를 접는 방법은 다음과 같습니다:
이제 네 개의 요소 중 두 개를 서로 다른 각도에서 보여줍니다.
이 요소들을 서로 교차되게 배열하여, 네 번째 차수의 대칭을 가지는 물체를 만듭니다. 초록색과 노란색 요소가 번갈아 배치됩니다. 3차원으로 보려면, 타르디의 실현 작품을 '가상 현실' 섹션에서 확인하세요. 이 섹션에서는 중심 모델이 조립되어 있으며, VRML 형식으로도 구현되어 있습니다. 아래는 다양한 시점에서의 모델입니다:
'위'와 '아래'라는 표현은 의미가 없습니다. 왜냐하면 이 용어들은 완전히 임의적이기 때문입니다. 왼쪽 이미지의 중심점은 모린의 중심 모델에서 두 면이 교차하는 '이중점(double point)'에 해당하며, 오른쪽 이미지의 중심점은 같은 모델에서 네 면이 교차하는 '사중점(quadruple point)'에 해당합니다. 저는 이 물체를 매우 신중하게 방향을 맞춰야 했습니다. 왼쪽 이미지가 십자가 모양(스바스티카)을 연상시키지 않도록 말이죠. 그러나 건축적으로 보면, 이 모린 중심 모델의 다면체 표현은 사회주의 문화관의 훌륭한 프로젝트가 될 수 있었을 것입니다.
마지막으로 한 가지 관찰할 점은, 구(또는 정육면체)의 뒤집기를 위한 '좋은' 다면체 표현이 존재하지 않는다는 것입니다. 여기서 '좋은'이라는 것은, 위의 모델처럼 비교적 쉽게 자르는 종이 형태로 설명할 수 있는 충분히 명확한 모델의 연속을 의미합니다. 이 방향으로 연구를 해볼 만합니다. 수학자가 아니어도 누구나 할 수 있으며, 예를 들어 조각가도 가능합니다. 20년 전, 저는 아브 프로방스의 에콜 드 빌 아르트에서 조각 교사였으며, 그 시절 지도를 맡았던 제 친구 자크 브리에가 있었죠. 그곳에서 보이의 표면을 타원으로 표현한 첫 번째 남북 방향 표현이 탄생했으며, 이는 아페리가 제시한 첫 번째 은함수 방정식의 핵심이 되었습니다. 당시 저는 예술 학생들의 기하학적 상상력이 종종 '기하학자들'보다 뛰어났다는 점에 놀랐습니다.
2001년 12월 31일 설치된 카운터. 접속 수:
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