큐브 뒤집기의 중심 모델
2001년 12월 31일
사이트 메인 페이지 왼쪽에 끊임없이 회전하는 이상한 물체를 모두 보셨을 겁니다. 이건 무엇일까요?
언젠가 시간이 생기면, 제가 1979년 1월호 '과학을 위하여'에 그림으로 설명했던 구의 뒤집기(스피어 리버설)에 대해 사이트에 설명을 올리겠습니다. 이는 이미 ... 22년 전의 일입니다. 물론 이 설명은 꽤 많은 세부 사항과 서론이 필요합니다. 구를 뒤집는다는 것이 도대체 무엇을 의미할까요? 일반인과 수학자-기하학자의 입장에서 '구'라는 개념은 다릅니다. 일반인에게 구란 3차원 공간 내에서 고정된 점 O로부터 거리 R에 있는 모든 점들의 집합으로 정의됩니다. 기하학자는 이와 비슷한 형태, 즉 변형된 구, 마치 감자 같은 물체를 여전히 '구'라고 부릅니다. 이러한 개념들을 더 정확히 이해하고 싶다면, 만화 '톱로지콘'을 담은 CD Lanturlu를 구입하시기 바랍니다. 그러나 수학자는 더 나아갑니다. 표면이 '정칙적(regular)'이라면, 그 표면 위의 각 점에서 접선 평면을 정의할 수 있습니다. 이는 초기의 '구'를 무수한 감자 형태로 변형할 수 있음을 의미하며, 표면의 면적도 임의로 바꿀 수 있습니다. 그러나 현실 세계에서는 구를 변형하는 사람이 자기 자신을 통과시키는 것을 막습니다. 만약 이러한 교차나 접촉이 금지된다면, 우리는 이를
구 S²의 임베딩(immersion)
라고 부릅니다. 하지만 수학자는 모든 권한을 가집니다. 수학자에게 있어 구는 '가상의' 물체이며, 표면이 서로 통과하는 것이 가능해집니다. 아래 그림들은 구가 스스로를 통과한 상태를 보여줍니다. 이를 수학적으로는
임베딩(immersion)
라고 부릅니다.
임베딩은
자기 교차점(self-intersection) 또는 자가 교차점의 집합을 가집니다(여기서는 단순한 원형 곡선). 접선 평면은 연속적으로 변해야 합니다. 그러나 위 그림들을 보면, 구의 일부(녹색으로 표시된 부분)가 내부에서 외부로 뒤집어지는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 뒤집기를 완성하려면, 이와 같은 적도 부근의 '소세지' 형태를 압축해야 합니다. 그러나 이 압축은 처음에는 어려워 보입니다. 이 과정은 접선 평면의 연속성을 깨뜨리기 때문입니다. 따라서 이 과정은
임베딩이 아닌 단계를 포함하게 됩니다.
어느 날 미국 수학자 스티븐 스메일은 "구 S²는 오직 하나의 임베딩 동치류(class of immersion)만을 가진다"는 것을 증명했습니다. 이 모호한 문장의 함의는, 표준 구에서 그 반대점(antipodal) 표현으로 전환하는 일련의 임베딩을 연결할 수 있다는 것입니다. 즉, 모든 점이 그 반대점으로 바뀐 상태로 구를 뒤집는 것입니다. 요컨대, 구를 정면과 뒷면이 바뀐 상태로 뒤집는 것입니다. 스메일의 지도교수였던 라울 보트는 이 증명이 순수한 형식적 논리로서 완벽해 보였지만, 어떻게 이를 실제로 수행할지 아무도 이해하지 못했습니다. 보트는 스메일에게 계속해서 "어떻게 진행할지 보여줘"라고 말했고, 스메일은 그 유명한 입술을 흔들며 "정말로 전혀 생각이 안 납니다"라고 답했습니다. 이후 스메일은 수학 분야의 노벨상에 해당하는 필드 메달을 수상했습니다. 이쯤에서 여러분은 아마도 왜 노벨이 수학상이 없었는지 궁금해하실지도 모릅니다. 그 이유는 간단합니다. 그의 아내가 수학자와 도망갔기 때문입니다.
이런 상태는 오랫동안 유지되었고, 1967년 미국 수학자 앤서니 필립스가 '사이언티픽 아메리칸'에 뒤집기의 첫 번째 버전을 발표했습니다. 그러나 이 방법은 매우 복잡했고, 이후 1970년대 초에 프랑스 수학자(실명이었던) 베르나르 모린이 두 번째 방법을 개발했습니다. 저는 이 변형 과정의 그림을 처음으로 그렸으며, 이미 말씀드렸듯이, 이 내용은 사이트에서 곧 발표될 다소 방대한 논문의 주제가 될 것입니다. 어쨌든, 이 모든 것은 보조적인 결론으로 이어집니다. 표면은
다각형 표현(polyhedral representation)
를 가질 수 있습니다. 큐브나 테트라헤드론도 구와 같은
위상(topology)
를 가지므로, 구의 다각형 표현으로 볼 수 있습니다. 이 점에 대해서는 '톱로지콘' 만화를 참고하시기 바랍니다. 또한, 구를 뒤집을 수 있다면 큐브도 마찬가지로 뒤집을 수 있다는 점을 이해할 수 있습니다. 베르나르 모린이 개발한 변형 과정(1979년 1월호 '과학을 위하여'에 제가 그림으로 설명한 것)은
중심 모델(center model)
를 거칩니다. 이 시퀀스에는 대칭성이 존재하며, 이를 '네 귀를 가진 중심 모델'이라고 부릅니다. 다시 한 번 예고합니다. 그러나 구의 다각형 표현이 가능한 것처럼, 이 변형 과정의 각 단계도 다각형 표현이 가능합니다. 제가 메인 페이지에서 회전시키는 물체는 바로 이 구 뒤집기 중심 모델의 다각형 버전이며, 저는 약 10년 전에 이 모델을 개발했습니다. 이러한 다각형 모델의 장점은 평면 표면으로 만들 수 있고, 자르고 조립할 수 있다는 점입니다. 아래 그림을 보시기 바랍니다(이 그림의 정확한 측정치를 제공해 주신 친구 크리스토프 타르디에게 감사드립니다).
이 그림은 작은 형식으로 인쇄기에 출력되며, 사용하기에는 부적절합니다.
A4 용지에 이 도형을 인쇄하려면
A4 두꺼운 종이에 4장의 복사본을 만들어야 합니다. 각각 두 장은 한 색상, 나머지 두 장은 다른 색상입니다.
이것은 전체적인 자르기 도면입니다. 그러나 인쇄하기 전에 '자르기' 페이지로 이동하는 것이 좋습니다. 그 페이지를 인쇄하세요. 그런 다음 일반 인쇄용 종이에 인쇄한 원본을 가지고 사진 복사기 가게로 가서, 이 그림을 정확히 4장 복사하세요.
두 장은 녹색 브리스톨지에,
두 장은 노란색 브리스톨지에
각각 복사하세요. 이렇게 하면, 이 자르기 도면을 이용해 큐브 뒤집기의 중심 모델을 만들 수 있습니다.
이 조각들 위에는 a, b, c, d, e, f 등과 같은 글자 쌍이 있습니다. 동일한 글자가 겹치도록 접어준 후, 투명 테이프로 면들을 붙이면 됩니다. 아래 그림들은 네 개의 요소 중 하나를 조립하는 방법을 보여줍니다. 먼저 네 개 요소 중 하나를 접는 방법입니다:
이것은 두 개의 요소를 서로 다른 각도에서 본 모습입니다.
이 요소들은 서로 조합되어 4차 대칭을 가지거나, 녹색과 노란색 요소가 번갈아 나타나는 형태의 물체를 만듭니다. 이 3차원 구조를 보고 싶다면, 타르디 씨의 '가상현실(Virtual Reality)' 작품을 확인하세요. 완성된 중심 모델은 이 섹션에서 VRML 형식으로도 제공됩니다. 아래는 이 물체를 다양한 각도에서 본 모습입니다:
위 그림의 '위'와 '아래'라는 표현은 의미가 없습니다. 왜냐하면 이러한 명칭은 완전히 임의적이기 때문입니다. 왼쪽 그림의 중심점은 모린의 중심 모델에서 두 겹의 표면이 교차하는 '이중 점(double point)'을 나타내며, 오른쪽 중심점은 동일한 모델에서 네 겹의 표면이 교차하는 '사중 점(quadruple point)'에 해당합니다. 저는 왼쪽 그림이 감마 십자가 형태를 떠올리지 않도록 신중하게 물체를 정렬했습니다. 그렇지 않으면, 건축적으로 볼 때 이 모린 중심 모델의 다각형 표현은 나치 문화관을 위한 아주 훌륭한 프로젝트가 될 수 있었을 것입니다.
마지막 시점:
마지막으로 한 가지 주의할 점은, 구 뒤집기(또는 큐브 뒤집기)에 대한 '좋은' 다각형 표현이 존재하지 않습니다. 여기서 '좋은'이라는 말은, 상대적으로 쉽게 자르고 조립할 수 있는 충분히 명확한 모델들의 연속을 의미합니다. 이와 같은 표현 방식에 대한 연구는 누구나 할 수 있으며, 수학자가 아니거나 예술가(예: 조각가)도 참여할 수 있습니다. 20년 이상 전, 저는 아르프 프로방스의 아카데미 드 브라우 아르트에서 조각 교사였습니다. 당시 그 학교는 우수한 친구였던 자크 브리에르가 이끌고 있었습니다. 바로 이 장소에서, 야페리의 첫 번째 은유적 방정식 구축의 열쇠가 되는 타원을 이용한 보이 표면의 첫 번째 적도 표현이 탄생했습니다. 당시 저는 예술 전공 학생들의 기하학적 상상력이 종종 기하학자들보다 훨씬 뛰어나다는 점에 항상 놀랐습니다.
2001년 12월 31일 초기 카운터 설정. 접속 수
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