구면의 뒤집기
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2004년 12월
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크로스캡의 정점 교환
이제 우리는 "구면의 뒤집기가 실제로 어떤 용도에 쓰일 수 있을까?"라는 질문을 던지는 짧은 중간 절을 다룰 것이다. 여기서는 크로스캡의 두 정점이 서로 위치를 바꾸는 데 사용된다. 이는 처음에는 불가능해 보였지만, 나는 약 12년 전에 이 작은 아이디어를 고안했다. 그러나 이 내용은 결코 발표된 바가 없다. 그런데 이런 것을 어디에 발표할 수 있을까? 정확히 알 수 없다. 수학에서 '중대한 결과'는 아니지만, 여전히 꽤 매력적인 연습 문제라고 할 수 있다. 아래에서는 다각형 표현을 사용할 것이다. 오른쪽은 '둥근' 크로스캡이고, 왼쪽은 그 가능성을 보여주는 여러 다각형 표현 중 하나이다.
크로스캡과 그 여러 다각형 표현 중 하나.
아래 오른쪽의 그림에서, 자가교차선의 끝부분에 위치한 두 정점 C1과 C2를 구면의 일부라고 볼 수 있는 영역 안에 넣었다. 우리는 구면을 뒤집을 수 있다는 것을 알고 있다. 따라서 이 물체에도 동일한 처리를 할 수 있으며, 변환 과정의 각 단계를 신경 쓰지 않아도 된다. 다각형 표현에서는 이는 큐브를 뒤집는 것으로 이루어진다.
결과적으로 우리가 아는 것은, 작업이 끝나면 초기 크로스캡의 "내부"에 위치한 관찰자가 보게 될 것과 유사한 두 가지 종류의 내측 굴곡이 나타날 것이라는 점이다(이 표현은 부정확하다. 왜냐하면 이 표면은 단면이기 때문이다).
큐브를 뒤집은 후(왼쪽), 구면을 뒤집은 후(오른쪽)
다각형 표현은 이러한 작업의 흐름을 놓치지 않도록 매우 편리하다. 이제 이 굴곡에 두 손가락을 넣고 전체를 바깥쪽으로 끌어내면 된다.
정점 C2를 "바깥쪽으로" 끌어내기
재미가 있다면, 종이로 다각형 모델을 직접 만들어보는 것도 좋다. 아니면 용감한 누군가가 VRML로 모델을 만들어서 움직여볼 수 있도록 해주기를 바란다.
마지막으로 작업을 완료한다.
처음 상태와 동일한 임베딩으로 돌아오되, 두 정점의 위치가 서로 바뀐 상태.
어느 날, 나는 심리분석가 자크 라캉과의 만남에 대해 기록한 문서를 작성하겠다고 약속한 바 있다. 그는 크로스캡을 '기본 환상'을 모델링하는 데 사용했다. 그는 중심 정점에 집중했고, 두 번째 정점은 간단히 무시했다. 이 중심 영역에서 라캉은 '언어적 음경' 또는 '작은 a 대상'을 위치시켰다. 나머지는 나중에 이야기할 터이다. 어쨌든, 라캉은 이러한 정점들이 '부모 변형'될 수 있다는 것을 전혀 예상하지 못했다. 사실, 그가 이 언어-기하-심리분석적 모델링에 대해 말할 때, 나는 두 정점이 서로 다른 역할을 할 수 있다는 것을 상상하며 눈썹을 찌푸렸다. 그리고 그 다음 순간, 단지 질문을 던졌을 뿐인데, 어떻게 이 두 정점을 교환할 수 있는지 깨달았다. 라캉은 매우 당황한 기억이 난다. 그의 기본 환상은 이제 하나가 아니라 두 개의 언어적 음경을 갖게 되었다. 그의 전체 이론은 이 객체 중심으로 구축되어 있었다. 그러나 나는 즉시 대안을 제시했다. 보이 표면의 유일한 극점에 언어적 음경을 위치시키는 것이었다. 그렇게 하자, 그는 매우 만족하며 모든 것이 정리되었다.
이 일화는 라캉의 사망 직전에 일어난 일이다. 내가 관찰한 바로는, 이 심리분석적-기하적 재배치는 아직 라캉주의 심리분석가 사회 내부에 널리 퍼지지 않은 것 같다.
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