2010년 2월 29일

이름 없는 문서

크랩처럼 생각할 수 있을까?

2009년 2월 27일

우리는 언어를 통해 표현하며, 이 언어는 우리의 논리적 구조를 반영해야 한다고 여겨진다. 우리 언어 속에는 '예'와 '아니오', '참'과 '거짓'이라는 이분법적 구조가 있으며, 이는 모든 진술(논리학자들은 이를 '명제'라 부른다)이 반드시 '참'이거나 '거짓'이어야 한다는 아리스토텔레스적 사고 방식으로 이어진다. 이를 우리는 '제3의 배타 원리'라고 부른다.

불행히도, 경험은 이 이론과 일치하지 않는다. 우리의 언어는 결정할 수 없는 명제들로 가득 차 있으며, 이들은 참도 아니고 거짓도 아니다. 예를 들어:

"나는 거짓말을 하고 있다."

그리고 100년 이상 동안 논리학자들은 비이분법적 논리를 구축하기 위해 상상력을 발휘해 왔다. 삼분법 논리의 예를 들어보자. '흐린 논리'라 불리는 이 논리는 참, 불확정, 거짓이라는 세 가지 진리값을 가진다. 이 논리는 자동화 장치나 공정 제어(공학 분야)에서 실제로 작동함을 입증했다.

사분법 논리의 구축 시도도 있었으나, 가장 전형적인 사분법 논리의 진리값은 다음과 같다.

이러한 확장 시도는 결실을 맺지 못했다.

그의 저서:

저자에게 직접 연락하려면:

오류 고지 저자는 책에 실린 표 중 하나에 오류가 있음을 알려왔다. 그는 29페이지의 표이며, 색상판은 135페이지이다. 먼저 이 작업에 관심을 가져주셔서 감사합니다. 책을 구입해 주셔서 진심으로 감사드립니다.

이런 일은 생길 수 있습니다... 아주 큰 실수가 있었습니다! 세 번째 행, 세 번째 열에서 1이 아닌 0이 잘못 기재되어 있습니다. 이 수정 사항은 며칠 내로 모든 독자에게 전달될 예정입니다.

또한, = 기호와 \ \ 기호는 대각선에 위치해 있습니다. 한 대각선에서 보면 = 기호로 보이고, 다른 대각선에서 보면 \ \ 기호로 보이며, 이는 해당 위치에서 '다르다'는 의미로 해석되어야 합니다.

이 정보가 독자님께서 책을 계속해서 올바르게 읽는 데 도움이 되기를 바랍니다. 다시 한 번 진심으로 감사드립니다. (죄송합니다!) 혹시 또다시 의심이 드시거나 새로운 실수가 발견된다면 언제든지 연락 주십시오.

그림 2.2는 위의 표로 교체해야 합니다.

덴니스 세코 드 루세나는 독자에게 이상한 탐험을 제안한다. 이 탐험은 독자에게 무사히 끝나지 않을 가능성이 크다. 논리학자의 일반적인 접근 방식처럼 언어를 검토해보자. 저자는 '횡단성'이라는 개념을 도입하자고 제안한다. 이러한 관점에서, 어떤 명제든 두 쌍의 대칭 구조로 이루어진 네 가지 형태로 전개될 수 있다. 언어 속에는 매우 많은 예가 있지만, '네 번째 명제'는 때로는 표현하기 어렵거나, 언어 속에 존재하는 어떤 수식어도 맞지 않는 경우가 있다.

먼저 '횡단성'이 명확하게 드러나는 예를 들어보자. 예를 들어 '운동'이라는 개념을 생각해보자. 운동은 다음과 같이 네 가지 방식으로 이루어질 수 있다:

즉시 두 쌍의 대칭 구조가 드러난다. 후진은 전진의 반대이고, 반대로도 마찬가지다. 움직임은 정지의 반대이며, 반대로도 마찬가지다.

위치에 따라 네 가지 부사나 부사어를 도입할 수 있다:

2010년 2월 29일: 친구 자크 레갈랜드는 네 번째 명제를 다음과 같이 더 잘 표현할 수 있다고 제안한다:

색상에 따라 생각해보면:

2010년 2월 27일: 지에가 제안한 것은 다음과 같다:

시간에 따라 생각해보면:

'결코'라는 부사는 '어디에도 없음'이라는 부사어와 시간적 동치이다(위 참조).

이러한 사고 방식은 내가 기억하기로, 우미트 문헌에서 언급된 논리에 대해 말해주는 글을 떠올리게 한다. 기억이 맞다면, 그 글은 네 가지 진리값을 제시했다:

기존의 사분법 논리의 진리값을 다시 살펴보면:

2010년 2월 27일: 네 번째 진리값을 "이 유형의 분류에 해당하지 않는다"로 재해석해야 한다:

실수를 생각해보자. 우리는 다음과 같은 세 가지로 나눌 수 있다:

네 번째 명제는 다음과 같이 표현될 수 있다:

이제 함의 관계를 생각해보자:

이렇게 보면, 위에서 언급한 전통적인 사분법 논리와는 다른 네 가지 '말하는 방식'이 드러난다. 마지막 두 명제의 대칭 구조가 다르다. 저자는 이러한 명제 쌍이나 수식어 쌍을 '횡단적'이라고 부른다.

우리가 제시하는 방식은 저자가 책에서 사용하는 방식과 다를 수 있다. 그러나 처음부터 독자는 "이 뒤에 무엇이 숨겨져 있는가?"라고 질문하게 될 것이다. 이 질문은 독자에게 멀리까지 데려갈 것이다. 저자는 과학자로서, 1992년 사우디아라비아 리야드에서 온 신비한 연락자들인 '우미트'라는 이름의 사람들로부터 받은 편지에서 자신의 출발점을 찾았다. 이 이야기를 모르는 독자들을 위해, 이 맥락을 다시 언급해보자. 1970년대 중반부터 스페인에서 가져온 문서들 속에서 이 글의 저자들은 아리스토텔레스 논리의 포기와 사분법 논리로의 전환의 필요성을 강조했다.

수년간 나는 다양한 시도를 해왔다. 1992년 당시 나는 2MHz로 작동하는 최초 세대의 매킨토시 컴퓨터를 갖고 있었으며, 당연히 모뎀이나 외부 통신 수단이 전혀 없었다. 이 컴퓨터에는 나만 알고 있는 생각들을 기록해 놓았다. 고델의 정리에 주목하면서, 그 정리가 자연수의 산술(피아노가 19세기 말에 공리화한 것)에 기반한다는 것을 떠올렸다. 수학자 가우스는 당시 지금 우리가 '가우스 정수'라 부르는 복소수를 발명했다. 즉, 정수 값을 갖는 복소수이다.

나는 일반적으로 가우스 정수를 자연수의 쌍 (a, b)로 간주하며, 이를 구성하기 위해 다른 공리화 시도가 이루어지지 않았다는 점에 주목했다. 단지 "두 개의 정수"를 부여하기로 결정했을 뿐이다.

이 몇 가지 생각을 하드디스크에 저장한 지 며칠 후, 나는 사우디아라비아에서 온 편지를 받게 되었고, 그 편지에는 내가 생각한 내용과 동일한 내용이 담겨 있었다.

이 편지의 내용

덴니스는 과학자로서, 이 이상한 편지에서 10년에 걸친 탐구의 출발점을 찾았다. 이 출처가 이례적이며, 심지어 논란의 여지가 있는 점을 감안하면, 그가 필명을 사용해 출판하기로 결정한 것은 이해할 수 있다.

혹시 줄스 베른의 『지구 중심 여행』을 기억하시나요? 주인공들은 아르네 사크누드센이 남긴 신비로운 메시지와 함께 놀이를 하며, 결국 지구 중심에 도달할 길을 발견한다. 덕분에 덴니스의 책에서도 비슷한 경험을 하게 될 것이다.

그가 처음이 아니지만, 지금까지의 모든 시도는 유감스럽게도 결실을 맺지 못했다. 때로는 매력적으로 보이기도 했지만 말이다. 캐나다인 노먼 모할란트의 사이트 ummo.science를 생각해보자. 수학자라면 "무한한 수의 대수를 만들 수 있다"고 말할 것이며, 레고 조각처럼 놀 수 있을 것이다. 새로운 레고 조각을 만드는 것은 또 다른 문제다.

덴니스의 작업에서 '더 큰 것'은 어디에 있는가?

그는 리야드 편지에서 제시된 흔적을 따라, 1843년 아일랜드 수학자 해밀턴이 발명한 수학적 객체인 '사원수'로 이어지는 길을 찾아낸다. 사원수는 일반적으로 복소수의 확장 형태로 나타난다:

Q = a + b i + c j + d k

여기서

i² = -1

j² = -1

k² = -1

i j = k

i j² = k j

i j = - j i

(반교환성)

j k = i

j k = - k j

k i = j

k i = - i k

이 곱셈은 반교환적이다.

해밀턴이 사원수를 발명하고 그 광대한 성질을 발견했을 때, 그는 너무나 감동되어 이렇게 말했다:

• "이 모든 것이 반드시 물리학에 응용되어야 할 것이다. 하지만 어떤 방식으로 그런지 누가 알겠는가?"

그는 당연히 양자역학의 등장과 이 연결이 이루어질 것이라고는 상상할 수 없었을 것이다. 예를 들어, 파울리 행렬은 사원수이다.

저자는 순수한 기하학적 고려를 통해, 편지의 내용에서 사원수의 기하학적 구성으로 수렴할 수 있음을 보여준다(두 개의 수직한 면을 가진 '복소 평면'을 통해). 이 책의 제목은 『리야드 편지의 비밀』이다. 이 비밀은 여기서 다뤄진다. 이 편지에서는 유명한 페르마의 정리에 대해 언급한다. 이 정리는 자연수 해를 갖는 방정식

aⁿ = bⁿ + cⁿ

가 n이 2보다 작거나 같을 때에만 해를 갖는다는 것을 말한다.

수학자 라그랑주는 페르마가 이전에 추측했던 유사한 정리를 제시했다. 즉, 모든 자연수는 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있다는 것이다.

(임의의 자연수 N) = a² + b² + c² + d²

여기서 0도 포함되어야 하므로 다음과 같이 된다:

3 = 1² + 1² + 1² + 0²

라그랑주의 이후에 나온 증명은 사원수를 사용하며, 귀납법을 이용한다.

나는 덴니스가 사원수를 이용해 라그랑주의 네 제곱수 정리를 증명해, 자신의 웹사이트에 게시해주길 바란다.

사원수 Q = (a, b, c, d)가 있다고 하자. 그의 켤레는 다음과 같이 정의된다:

Q의 켤레 = Q (a, -b, -c, -d)

덴니스는 페르마의 정리가 그가 제시한 형태로는 사원수 표현의 부산물일 것이라고 추측한다. 즉, 다음과 같은 방정식:

( Q₁Q₁ )ⁿ = ( Q₂Q₂ )ⁿ + ( Q₃Q₃ )ⁿ

여기서 사원수의 성분이 모두 정수일 때, 이 방정식은 n이 2보다 작거나 같을 때에만 해를 갖는다는 것이다.

2010년 2월 27일: 나는 이 두 명제가 동치임을 발견했다. 왜냐하면 사원수 (a, b, c, d)의 모듈러스는 a² + b² + c² + d²이기 때문이다. 즉, 라그랑주의 정리에 의해 '정수'이다.

이 문단은 일반 독자에게는 지루하게 느껴질 수 있다. 그러나 사실 전체 책은 매우 접근하기 쉬운 편이다. 제시된 횡단성의 다양한 예는 언어와 놀이처럼 매우 재미있고 자극적이다. 독자는 이런 예를 더 찾아보는 데 즐거움을 느낄 수 있다. 기하학적 도표도 매우 명확하다.

이 책은 더 큰 건축물의 첫 번째 블록처럼 보이며, 새로운 사고 방식으로의 전환을 열어준다.

책을 주문하려면 (배송비 포함 18유로, 144쪽):

http://quadrilogie.com

2009년 3월 2일: 독자 크리스티안 페드로 씨가 라그랑주의 네 제곱수 정리의 증명이 포함된 PDF를 제공해주었다.

라그랑주의 네 제곱수 정리

다른 주의사항: 두 사원수의 모듈러스 곱은 그 곱의 모듈러스와 같다. 이 증명은 수학자 오일러(1750)의 것이다.

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =

(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² + (a₁b₃ - a₂b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

이는 두 사원수 A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)의 곱의 모듈러스가 사원수 C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄, a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃, a₁b₃ - a₂b₄ + a₃b₁ - a₄b₃, a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)의 모듈러스와 같다는 의미이다.

페드로 씨는 사원수 기반의 접근이 와일스의 증명(수백 페이지에 걸쳐 있음)에 비해 상대적으로 간단한 증명으로 이어질 수 있을지에 대해 회의적이다. 수천 명의 수학자들이 이 문제에 머리를 쥐어짜고도 실패했기 때문이다.

나는 의견을 내기 어렵다. 그러나 두 가지 생각을 나누고 싶다.

자연수는 어떤 기수에서도 표현될 수 있으며, 특히 소수는 어떤 기수로 표현되든 그 성질을 유지한다는 점을 알고 있다. 따라서 가장 간단한 기수인 2진수를 선택하는 것이 타당하다. 2진수는 0과 1 두 개의 원소만을 가진다.

이탈리아 수학자 지우세페 피아노(1858–1932)는 자연수의 산술을 뒷받침하는 다섯 개의 공리를 제시했다.

이탈리아 수학자 지우세페 피아노 1.
2.
********** 3.
4.
5.

0이라고 불리는 원소, 즉 0은 자연수이다.
모든 자연수 n은 유일한 후속자 s(n) 또는 Sn을 갖는다.
0은 어떤 자연수의 후속자도 아니다.
같은 후속자를 갖는 두 자연수는 서로 같다.
0을 포함하고, 자신의 모든 원소의 후속자를 포함하는 자연수의 집합은 N과 같다.
첫 번째 공리는 자연수 집합이 공집합이 아니라는 것을 보장하며, 세 번째 공리는 첫 번째 원소가 존재함을 보여주고, 다섯 번째 공리는 귀납법의 원리를 만족한다는 것을 의미한다.

이 다섯 개의 공리를 기반으로 한 피아노의 산술은 일차 논리로 이어지며, 이는 고델의 불완전성 정리에 영향을 받는다. 리야드 편지가 보내진 계기는 바로 이 점이었다. 나는 가우스 정수 z = a + ib (a와 b는 자연수)에 대해 다음과 같은 생각을 했다.

내가 느꼈던 것은, 가우스 정수의 산술을 위한 별도의 공리계가 존재하지 않는다는 것이었다. 이는 "피아노의 산술을 두 번 사용한 것"과 다르다고 여겨졌다. 이 관점에서 가우스 정수는 "규칙적인 격자 위의 점"이 아니라, 선분으로 나누어진 두 직선 위에서 선택된 점의 쌍 (a, b)이 된다. 따라서 가우스 정수의 산술은 "피아노의 산술 두 번"이 된다.

이제 질문을 제기해보자:

• 정수 사원수의 산술을 정의하는 공리계가 존재하는가? 만약 그렇다면, 우리는 어떤 논리에 도달해야 하는가? 그 논리는 사분법적일까? 동시에 완전할까? 즉, 네 가지 진리값 외에 다섯 번째 진리값