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지오데식
...이후에 우리는 2차원 표면에 대해 다룰 것입니다. 그런데 왜 표면이 2차원 물체일까요? 그 이유는 표면 위의 한 점을 위치시키기 위해 두 개의 매개변수가 필요하기 때문입니다. 예: 지구의 경도와 위도.
...이것들은 당신의 손을 통해 더 잘 이해할 수 있는 것입니다. 이 텍스트를 읽기 전에 몇 가지 물체를 찾아보세요. 다음과 같은 것이 필요합니다:
- 단단하면서도 유연한 종이
- 색상이 있는 테이프
- 가위
...이런 종류의 색상 테이프를 사용하여 일정한 폭의 띠를 만들 수 있습니다.
(6)
...어떤 표면이라도, 예를 들어 당신의 차량의 차체를 가져다보세요. 주의 깊게 주름을 피해서 테이프를 붙이면, 그 표면의 지오데식을 얻을 수 있습니다. 당신의 차량 차체에는 무한한 수의 지오데식이 존재합니다.
평평한 판에 대해서도 할 수 있습니다. 그러면 당신의 평면의 "직선"을 얻게 됩니다.
"직선"은 단지 평면의 특별한 지오데식일 뿐입니다.
(7)
세 개의 지오데식을 사용하여 이 "유클리드 표면" 위에 삼각형을 만들 수 있습니다. 그러면 세 각의 합은 180도가 됩니다.
포지코인
...이제 "포지코인"이라는 "양의 원뿔"을 만들어 봅시다. 단순히 종이 조각, 평평한 표면을 가져다가 가위로 섹터를 자르세요. 그런 다음 그림에 표시된 바와 같이 SA와 SB선을 함께 붙이세요.
(8)
...이제 우리의 테이프를 사용하여 그림 (9)에 표시된 바와 같이 이 표면에 세 개의 지오데식을 그립니다. 세 각의 합을 측정할 수 있으며, 두 가지 경우를 얻게 됩니다:
이 삼각형이 이 포지코인의 정점 S를 포함하지 않으면, 합은 여전히 180도입니다.
이 삼각형이 정점 S를 포함하고 있으면, 그 크기가 작든 크든, 합은: 180도 + q입니다.
(9)
이해를 돕기 위해, 당신의 포지코인을 자르고 평평하게 펼칠 수 있습니다. 그러면 q 각이 명확히 드러납니다.
(10)
...당신은 쉽게 확인할 수 있습니다. 두 직선 AH와 우리는 쉽게 직선 SH와 SH'가 q와 같은 각을 형성함을 확인할 수 있습니다.
...원뿔은 정점이 지나가는 선을 따라 잘라 평평하게 펼 수 있는 표면입니다. 프랑스어로는 "발전가능 표면"이라고 말하지만, 저는 사전에서 영어 단어를 찾을 수 없습니다. 실린더도 마찬가지입니다.
(11)
...당신은 테이프를 사용하여 실린더 표면에 지오데식을 그릴 수 있습니다. 하지만 당신이 자르고 실린더를 평평하게 펴면, 당신의 지오데식은... 직선이 됩니다.
또한 이러한 표면(원뿔, 실린더)을 평면 위로 말 수 있습니다. 다음 그림을 참조하세요.
(12)
...당신은 인으로 원뿔이나 실린더 표면에 지오데식을 그릴 수 있고, 그 후 평면 위로 말아서 인쇄 매트릭스로 사용할 수 있습니다. 그러면 당신의 평면 위에 직선을 얻게 됩니다.
...역으로, 당신이 평면 위에 직선을 그린 후, 잉크가 마르기 전에 원뿔이나 실린더를 그 위로 말면, 그 위에 지오데식을 인쇄할 수 있습니다.
원본 버전(영어)
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Geodesics.
...In the following we deal with 2d-surfaces. By the way, why is a surface a 2d object ? Because you need two parameters to localize a point on it. Example : longitude and latitude on the Earth.
...They are things that you will better understand with yours hands than with your head. Try to find some things before starting to read this text. You need :
- Paper, both firm and flexible.
- Coloured sticky tape.
- Scissors
...Hereafter with this kind of coloured sticky tape you can make constant width strips.
(6)
...Take any surface, for example the coachwork of your car. You can glue your sticky tape strip onto it, carefully avoiding creases. Then you get geodesics of this surface. They are an infinity of it on the coachwork of your car.
You can do it on a flat plate. The you get "straight lines of your plane".
"Straight lines" are just peculiar geodesics, those on the plane.
(7)
With three geodesics you make a triangle on this "euclidean surface". Then the sum of the three angles is 180°.
Posicones.
...Now, let us build a "posicone", some sort of a "positive cone". Just take a piece of paper, a flat surface, and cut a sector with your scissors. Then put the lines SA and SB together, as indicated on next figure.
(8)
...Now, with our sticky tape, we draw three geodesic lines on that surface, as shown on figure (9). We can measure the sum of the three angles and we find two cases :
If the triangle does not contain the summit S of this posicone, the sum is still 180°.
If it contains the summit, whatever it is arranged around it, small or large, the sum is : 180° + q .
(9)
To understand, you can cut your posicone and put it flat. Then your q angle appears clearly.
(10)
...You can easily check that the two straight lines AH and we can therefore verify easily the straight lines SH and SH' form and angle equal to q .
... A cone is a surface that can be put flat, after you cut along a line containing the summit. In french we say that it is a "développable" surface, but I don't find the english word in my dictionary. Same thing for a cylinder.
(11)
...You can draw geodesic lines on a cylinder, with your sticky tape strip. But, after you manage your cut, and put your cylinder flat, your geodesic lines become... straight lines.
You can also roll such surfaces ( cone, cylinder ) on a plane. Next figure.
(12)
...You can draw a geodesic on a cone or on a cylinder with ink, and then roll it on a plane, using it as a printing matrix. Then, on your plan, you will print straight lines.
...Conversely, if you draw straight lines on your plan and roll the cone or the cylinder on it, before the ink gets dry, you will print geodesics on it.