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(양의) 곡률.****
우리가 접착테이프를 사용하여 평면 위에 삼각형을 그릴 때, 각도의 합은 180도입니다. 이는 유클리드 표면입니다. 우리는 이 표면이 곡률을 포함하지 않는다고 말할 수 있습니다. 그것은 실제로 평평한 표면입니다. 우리의 삼각형의 각도 합은 유클리드 합입니다. 우리가 우리의 원추체, "포지콘"에 삼각형을 그릴 때, 꼭짓점 S가 외부에 있을 때, 합은 여전히 180도였습니다. 반대로, 꼭짓점이 내부에 있을 때, 합은 180도에 각도 q(우리가 포지콘을 만들기 위해 수행한 절단, 그림 (8) 참조)를 더한 것이었습니다.
이 꼭짓점은 표면의 특별한 점, 즉 원추점이며, 우리는 이 점이 특정한 양의 곡률을 집중적으로 포함하고 있다고 말할 수 있습니다. 이는 양의 곡률이 집중된 점입니다.
이제 q1과 q2에 해당하는 두 가지 절단을 수행할 수 있습니다. 그림 (13) 참조. 그러면 S1과 S2라는 두 개의 원추점이 있는 이상한 표면을 얻게 됩니다. 그림 (14) 참조.
(13)
(14)
이제 원하는 만큼 다양한 경우에 해당하는 지오데식 삼각형을 그릴 수 있습니다.
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꼭짓점이 하나도 없는 경우, 각도의 합은 180도입니다.
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꼭짓점 S1을 포함하는 경우, 합은 180도에 q1을 더한 것입니다.
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두 꼭짓점인 q1과 q2를 모두 포함하는 경우, 합은 180도 + q1 + q2입니다.
(15)
이제 여러분이 많은 작은 포지콘을 만들고, 그림 (16)에 표시된 대로 서로 붙일 수 있다고 상상해보세요. 각 작은 포지콘은 기본 각도 Dq에 해당합니다. 이 작은 원추를 정규적으로 배치할 수 있습니다. 즉, 한 꼭짓점과 인접한 작은 원추의 꼭짓점 사이의 거리는 거의 모든 곳에서 일정할 것입니다.
(16)
만약 작은 원추가 점점 작아지고, 그와 관련된 기본 각도 Dq도 작아진다면, 일정한 곡률 밀도를 가진 표면의 일부를 만들게 됩니다.
구는 일정한 지역 곡률 밀도를 가진 표면입니다. 간단히 말해, 구는 일정한 곡률 표면이라고 말합니다.
만약 작은 원추를 다르게 배치한다면, 변동하는 지역 곡률 밀도를 가진 표면을 만들 수 있습니다. 예를 들어, 달걀입니다. 닭의 달걀은 지역 곡률 밀도가 변하는 표면입니다. 하지만 테니스 공은 일정한 곡률 밀도를 가진 표면입니다. 그래서 닭은 자신의 달걀을 인식하고, 테니스 공과 구별할 수 있습니다. 접착테이프를 사용하여 지오데식을 그려서 말이죠...
사실 닭은 물리적으로 물체 위에 지오데식을 그립니다. 그것은 정신적으로 합니다.
(17)
일반 상대성 이론에서는 질량 밀도 r을 지역 곡률과 동일시합니다.
물론 일반 상대성 이론의 세계는 2차원 표면이 아닙니다. 3차원의 초표면을 상상할 수 있습니다. 3차원의 초구를 상상할 수 있습니다. 하지만 4차원의 초표면을 상상할 수 있는 사람은 누구일까요?
또한, 4차원 초표면인 "우주"의 4차원 곡률은 여기서 탐구하지 않을 특별한 특성을 가지고 있습니다. 이는 교육적 모델의 한계를 보여줍니다. 하지만 상상력을 자극하고, 약간 다른 세계로 마음을 열기에는 좋은 도구입니다.