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천체의 교육적 이미지(별, 행성, 밀도가 높은 달걀)
** **태양과 같은 별은 질량의 집중입니다. 주변에는 공허, 또는 매우 희박한 가스와 광자로 구성된 "거의 공허"한 공간이 있습니다. 2D에서 해당 교육적 이미지는 둔한(포지) 원뿔입니다:
(18)
두 개의 구성 요소로 만들 수 있습니다. 구의 일부와 포지 원뿔의 일부를 붙입니다. 구의 일부는 일정한 곡률 표면입니다. 원뿔의 일부는 평평한 표면, 지역적 곡률이 0인 표면입니다. 이 마지막 예는 유클리드 표면입니다. 구의 일부는 비유클리드 표면(리만 표면)입니다.
이것은 공기 중에 둘러싸인 일정한 밀도를 가진 물체의 2D 교육적 이미지입니다.
평탄한 접선을 보장하기 위해 두 요소를 어떻게 결합할 수 있습니까? 간단합니다. 원뿔의 일부는 각도 q에 해당하는 원뿔의 절단에서 옵니다. 구의 일부는 일정한 "각도 곡률" q를 포함하도록 소형 포지 원뿔로 구성되어야 합니다. 두 각도가 같으면 접선이 연속이 됩니다.
그러나 구의 주어진 부분에 포함된 곡률의 양을 어떻게 측정할 수 있습니까?
전체 곡률.
우리는 기본 포지콘을 연결하여 표면을 만들 수 있습니다. 일정한 곡률 밀도 표면을 얻을 수 있도록 정리할 수 있습니다. 그러면 표면이 구의 일부임을 알 수 있습니다. 더 많은 기본 포지콘을 추가하면 구가 완성됩니다. 이 구는 특정한 각도 곡률을 포함합니다. 모든 구는 같은 양을 포함합니다. 테니스 공과 지구의 전체 각도 곡률은 매우 다른 무게를 가지고 있음에도 불구하고 같습니다.
참고로, 달걀의 전체 곡률도 같습니다. 왜냐하면 같은 위상 구조를 가지고 있기 때문입니다. 일반적으로 닭은 구형 위상 구조를 가진 달걀을 낳습니다. 저는 토러스 위상 구조를 가진 달걀을 본 적이 없습니다. 그것은 머리나 꼬리가 없는 이상한 뱀과 같은 것이 될 것입니다.
테니스 공과 일반적인 구로 돌아가면, 이 표면이 일정한 지역적 각도 밀도를 가진다면, 각도 곡률의 양(기본 각도 Dq의 합)은 면적에 비례합니다. 그림 19를 참조하십시오. 이 면적은 어떤 경계로도 제한될 수 있습니다. 그러나 구의 지오데식을 사용할 수 있습니다. 구의 표면을 S, 삼각형 내부의 회색 표면을 s라고 합니다.
(19)
위에서 우리는 표면에 그려진 삼각형의 유클리드 합(180°)에 대한 (긍정적인) 차이가 삼각형 내부에 있는 원뿔 정점의 수에 따라 달라진다는 것을 보았습니다. 합은 180°에 해당 정점에 대한 모든 각도를 더한 것입니다.
역으로, 유클리드 합에 대한 차이를 측정하면 삼각형 내부에 포함된 곡률의 양을 측정할 수 있습니다.
구의 지오데식은 구의 대원이라고 불립니다. 그림 (20)을 참조하십시오. 경도선과 적도는 구의 대원입니다.
(20)
우리는 구를 8개의 동일한 면적 조각으로 나눌 수 있습니다. 그림 (21)을 참조하십시오. 우리는 모든 각도가 90°인 8개의 삼각형을 얻습니다. 따라서 유클리드 합에 대한 차이는 90°입니다. 이 삼각형 각각은 90°의 각도 곡률을 포함합니다. 결론적으로, 구의 전체 곡률, 전체 각도 곡률은 8 × 90° = 720° = 4π입니다.
(21)
각 회색 삼각형은 π/2를 포함합니다.
곡면, 리만 표면 기하학을 좋아하시나요?
우리의 둔한 원뿔로 돌아가면, 각도 곡률은 일정한 곡률 밀도 영역 내부의 원형 경계에 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 원뿔의 측면, 벽은 제한된 표면이 아닙니다. 원한다면 무한대로 확장할 수 있습니다. 각도 곡률의 양은 경계의 둘레나 구의 조각의 면적에 의존하지 않습니다. 이 마지막 조각은 축소될 수 있습니다. 그림 (22)을 참조하십시오. 심지어 단일 점으로 축소되어도 여전히 동일한 양의 각도 곡률을 포함합니다. 그래서 우리는 원뿔 점이 집중된 곡률 점이라고 말합니다. 반대로, 우리는 원뿔 점의 집합으로 매끄러운 표면을 만들 수 있습니다.
물질은 원자로 구성되어 있습니다. 원자는 점과 같은 물체로 간주할 수 있습니다. 이들은 3차원 공간에서 "집중된 곡률 점"입니다.
당신이 숨 쉬는 공기는 일정한 밀도의 매체입니다. 분자와 원자로 구성되어 있습니다. 이는 집중된 곡률 점의 집합이며, 유클리드 공간의 조각들로 연결되어 있습니다. 당신은 이를 일정한 곡률 매체로 간주합니다.
다음 번 숨을 쉴 때 생각해 보세요.
(22)