a106
| 6 |
|---|
음의 원뿔.
이제 우리는 "음의 원뿔"이라고 부르는 것을 만들어 보겠습니다. 양의 원뿔을 만들기 위해서는 평면에서 한 부분을 제거했습니다. 여기서는 반대로, 각도 q에 해당하는 부분을 추가합니다:
(30)
이 표면 위에 우리는 테이프를 사용하여 지오데식선을 그릴 수 있고, 세 개의 지오데식선으로 삼각형을 만들 수 있습니다. 각도의 합을 측정해 보면, 180° - q임을 알 수 있습니다. 우리는 이 것이 음의 곡률 집중을 정의한다고 말할 수 있습니다.
집에서 음의 곡률을 가진 물체들이 있습니다. 예를 들어, 일부 의자들입니다: (30 bis)
만약 우리가 원을 가져오면, 그림 (31)을 얻게 됩니다:
(31)
물론, 세 개의 지오데식선으로 만들어진 삼각형이 꼭지점 S를 포함하지 않으면, 이 꼭지점은 전체적인 음의 각도 곡률을 포함하고 있으므로, 합은 유클리드 기하학의 180°가 됩니다.
말 등받이.
** **여러 개의 기본적인 음의 원뿔을 각도 -Dq로 만들고 연결할 수 있습니다. 이는 이웃한 두 꼭지점 사이의 거리가 거의 일정하게 유지되도록 할 수 있습니다. 그러면, 우리는 일정한 음의 곡률 밀도 표면을 얻게 됩니다: 말 등받이입니다. 하지만 이 표면은 결코 닫히지 않을 것입니다.
일반적으로 기하학자는 이를 일정한 음의 곡률 표면이라고 부릅니다. (32)
"둔각 음의 원뿔".
이전 단락에서, 일정한 양의 곡률 밀도 표면(구의 일부)과 양의 원뿔의 일부를 사용하여, 둔각 양의 원뿔을 만들었습니다.
비슷하게, 우리는 "둔각 음의 원뿔"이라고 부를 수 있는 것을 만들 수 있습니다. 말 등받이와 음의 원뿔의 일부를 공유되는 원형 경계를 따라 연결해야 합니다. 접선 평면의 연속성을 유지하기 위해, 말 등받이에 포함된 곡률(음의)은 음의 원뿔을 구성하는 과정에서 사용된 음의 곡률과 같아야 합니다.
필요한 음의 원뿔의 일부를 만들기는 비교적 쉽습니다! (33)
참고: 양의 원뿔과 마찬가지로, 음의 원뿔은 인쇄 매트릭스로 사용될 수 있습니다. 하지만 음의 원뿔을 평평한 평면 위로 말아 올리는 방법을 거의 볼 수 없습니다. 따라서 평평한 평면을 음의 곡률 매트릭스 위로 말아 올리는 것이 더 쉽습니다.
구텐베르크는 인쇄 기술을 개발했습니다. 볼록한 디자인은 평면에 조각됩니다. 그 후 잉크를 바르고, 다른 평면에 눌러 인쇄합니다.
그 후 인쇄 매트릭스는 신문 인쇄를 위해 실린더로 변형되었습니다(회전식 인쇄기).
하지만 저는 아는 바에 따르면, 아무도 콘형 인쇄기를 사용하지 않았습니다.
어쨌든 중요한 점은 방법에 관계없이 두 표면을 접촉시키는 것입니다. 매트릭스를 이동시키거나, 종이(평면 표면)를 말아 올리면 됩니다.
그림 (34)에 표시된 바와 같이, 콘형 매트릭스를 사용하여 평면에 무언가를 인쇄할 수 있습니다. 평평하게 펴진 콘형 신문. (34)
어떤 날이면 아무도 사용하지 않을 것이라고 확신할 수는 없습니다. 당신이 특정한 디자인을 가진 드레스를 만들고 싶다고 생각해 보세요. 이 디자인은 원뿔 대칭에 해당합니다. 수천 개의 드레스를 만들어야 한다고 가정해 보세요. 당신은 원뿔형 매트릭스에 디자인을 조각하고, 그걸 사용하여 천에 인쇄할 수 있습니다. 고객은 그것을 구입하고, "원뿔 드레스"를 만들 수 있으며, 어디서나 정확한 디자인을 얻을 수 있음을 확신할 수 있습니다.
그림 (35)은 음의 곡률 매트릭스로 인쇄했을 때 얻는 결과입니다. 오른쪽에는 평평하게 펴진 음의 원뿔입니다. (35)
그림 (36)은 말 등받이를 음의 원뿔의 일부와 연결하는 방법을 보여줍니다.
그 사이에, 당신은 다음과 같이 질문할 수 있습니다:
- 어떻게 말 등받이에 포함된 음의 각도 곡률을 측정할 수 있을까요?
텍사스의 수학 부서 근처에서는 말 등받이를 구입할 때, 해당하는 각도 곡률이 첨부된 티켓에 표시됩니다. 그렇지 않다면, 경계의 둘레나 넓이를 이 음의 곡률 디스크의 반지름으로 계산된 유클리드 값과 비교하여 해당하는 각도 곡률을 추론할 수 있습니다. 이는 수확 있는 연습으로 생각해 보세요. (36)
(37)
이제 우리는 테이프를 사용하여 지오데식선을 그릴 수 있고, 그림 (38)에 표시된 바와 같이 평면에 투영할 수 있습니다.
(38)
보통과 마찬가지로, 이 평면 투영은 우리의 "정신 세계", 플라톤의 동굴 벽을 가리킵니다. 투영된 지오데식선의 모양은 우리가 참조 물체에 작용하는 반발력, 예를 들어 반발적인 중력이 존재함을 의미할 것입니다. 사실, 모든 것이 이하의 기하학에서 유래해야 합니다.
원본 버전(영어)
a106
| 6 |
|---|
**Negacones.
**
Let us build now what we will call a "negacone". To build a posicone, we removed a sector from a plane. Here we add one, corresponding to an angle q :
(30)
On this surface we can draw geodesic lines, with our sticky tape and make a triangle with three of them. If you measure the sum of the angles, you will see that it is 180°-q . We will say that it defines a negative curvature concentration.
There are objects with negative curvature in your home. Some seats, for example : (30 bis)
If we take a disk we get the figure (31) :
(31)
Of course, if the triangle composed by the three geodesics does not contain the summit S, which contains all the (negative) angular curvature, the sum will be the euclidean sum : 180°.
The horse saddle.
** **You can build a great number of elementary negacones
with angle - Dq and join them. You can do that in order to have an almost constant distance between two neighbour summits. Then you would build a constant negative curvature density surface : a horse saddle. But this surface will never get closed.
In general the geometer call it a *constant negative curvature surface.
*(32)
"Blunt negacone".
In a precedent section, using a constant positive curvature density surface (a portion of a sphere) and a portion of posicone we built a blunt posicone.
Similarly we can build what we will call a blunt negacone. We have to join a horse saddle to a portion of negacone, along their common circular border. In order to manage the continuity of the tangent plane the (negative) curvature contained in the horse saddle must be equal to the negative curvature involved in the negacone building.
It is relatively easy to build the required portion of a negacone !
(33)
NB : As the posicone, the negacone can be used as a printing matrix. But we can hardly see how to roll a negacone on a flat plane. It is therefore easier to roll the plane on a negative curvature matrix.
Gutemberg invented the printing technique. A design in relief is carved on a plane. Then one puts ink on it and presses it onto a plane.
Later the printing matrix was converted into a cylinder, for newspaper printing (rotative press).
But no one, as far as I know, used the conical press.
In all cases, the important point is to put the two surface into contact, whatever one does. Either you move the matrix, or you roll the paper (the plane surface).
As shown on figure (34) you can use a conical matrix to print something on a plane. Some conical newspaper, put flat.
(34)
It is not definitively sure that nobody will use that, someday. Suppose you want to produce robes, with a special design, corresponding to conical symmetry. Suppose that you have to produce thousands of robes like that. You could engrave the native design on a conical matric, then use it to print on the material,or the fabric. The customer could buy it and make the "conical" robe, being sure that the obtained patter would be good, all over.
On figure (35) is what you get if you print with a negative curvature matrix. On the right a negacone put flat.
(35)
On figure (36) it shows how to join the horse saddle to the portion of negacone.
By the way, you may ask :
- How can I measure the negative angular curvature contained in my horse saddle ?
In some places in Texas, close to mathematical departments, when you buy a horse saddle the corresponding angular curvature is indicated on the joined ticket. If not when you compare the perimeter of the border, or the area,to the euclidean value, calculated from the radius of this regative curvature disk, you can deduce the corresponding angular curvature. Consider this as a fruitfull exercise.
(36)
(37)
Now we can use ou sticky tape, draw geodesics and project it on a plane, as shown on figure (38).
(38)
As usual this plane projection refers to our "mental world", the wall of Plato's cavern. The aspect of the projected geodesic would mean for us that some repulsive force is acting on our reference objects, for example a *repulsive gravitational force *. In fact, all that should come from underlying geometry.