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공액 기하학
이제 둔한 포지코네와 둔한 네가코네를 연결할 수 있습니다. 서로 마주보고 있는 부분은 구의 일부와 말의 등받이 형태, 즉 반대되는 각도 곡률 +q와 -q를 가진 부분입니다. 우리는 점 대 점 대응(단사 매핑)을 가지고 있습니다. 그림 (39)에서는 공액 점 쌍이 나타나 있습니다.
우리는 "공액 기하학"이라고 부르며, 점 대 점으로 연결된 두 기하 구조를 말합니다. 이 구조들에서 지역적 곡률 밀도가 반대됩니다. 이는 구의 일부와 대응하는 말의 등받이 형태와 같은 경우입니다. 포지코네의 일부와 네가코네의 일부도 마찬가지입니다. 이들의 지역적 각도 곡률 밀도는 0입니다. (39)
플리 F에서의 양의 곡률은 구의 일부에 완전히 포함되어 있습니다. 포지코네의 일부는 유클리드 표면이며, "지역적으로 평평합니다". 반면, 다른 플리 F*인 공액 플리에서는 모든 (음의) 각도 곡률이 말의 등받이 형태에 포함되어 있습니다. 외부에서는 네가코네의 일부가 "지역적으로 평평하며", 곡률을 포함하지 않습니다.
주어진 플리로부터 다른 플리를 구성할 수 있다는 점에 주목하십시오.
일반 상대성 이론
기본적인 아이디어는 "물질-에너지"의 지역적 내용이 지역적 기하학을 결정한다는 것입니다. 이는 시공간의 초표면을 형성합니다. "물질-에너지"라는 복합어는 모든 내용이 우주의 기하학을 결정한다는 것을 보여줍니다. 즉, 물질과 복사선입니다. 이전 단락에서 광자가 (양의) 곡률에 기여한다고 언급했습니다. 그러나 현재 우주배경의 기여는 무시할 수 있습니다. 물질의 기여가 기하학에 주도적입니다. 하지만 먼 과거에는 상황이 반대로 되었습니다. 표준 모델에서 t < 50만 년일 때입니다.
일반 상대성 이론의 기본 개념을 이해하기 위해 교육적인 모델을 살펴보겠습니다. 정적 시스템에 대해 다루겠습니다. 내부 응력이 없는 평평한 표면을 생각해보겠습니다. 지역적 응력을 도입함으로써 그 기하학을 수정할 수 있습니다. 양의 또는 음의 긴장(응력 텐서)을 도입할 수 있습니다. 예를 들어, 플라스틱 필름을 가열하면 볼록한 부분(양의 곡률 효과)을 만들 수 있습니다.
또한, 건조되면 지역적 늘어짐을 유도하는 제품으로 소재를 침지시킬 수도 있습니다(음의 곡률 효과).
보일러 제작자는 가열과 냉각을 사용하여 금속 표면을 형성하는 방법을 알고 있습니다. 예를 들어, 사고를 당한 용기의 경우입니다.
단순한 금속 튜브를 가져다 한쪽은 가열하고 반대편은 냉각시킬 경우 어떤 일이 일어날까요?
(40)
이 응력은 그림 (41)에 표시된 바와 같이 튜브를 구부릴 것입니다.
(41)
금속에 응력을 도입했습니다. 이는 수학, 재료 강도 및 기하학에서 "텐서"라는 단어의 기원입니다. 재료 강도 전문가는 "응력 텐서"라는 용어를 사용합니다. 기하학자는 "곡률 텐서"를 언급합니다. 일반 상대성 이론 전문가는 기본 원칙을 적용합니다:
"지역적 물질-에너지 내용 <-------> 지역적 기하학"
물론, 이 지역적 물질-에너지 내용은 4차원 초표면의 지역적 기하학을 결정합니다. 하지만 아이디어는 유사합니다.
이를 어떻게 쓸 수 있을까요? 수학자가 "텐서"라고 부르는 것을 사용하면 됩니다.
"미분 기하학"의 완전한 강의를 개발하지 않는 한 이 방향으로 더 나아가기 어렵습니다. 유명한 아인슈타인 방정식은 다음과 같습니다: (42)
**S **= c T
c는 단순한 상수(아인슈타인 상수라고 불립니다)입니다. 이는 다음 두 상수의 값에 의존합니다:
-
광속 c.
-
중력 상수 G.
를 통해:
(42bis)
S는 기하학적 텐서이며, 기하학적 특성을 담당합니다.
T는 또 다른 텐서로, 우주의 지역적 내용을 설명합니다. 이 텐서에는 물질 밀도 r과 압력 p가 포함됩니다. 이들은 에너지 밀도로 표현됩니다. r c²는 에너지 밀도입니다.
그러나 p도 또한 에너지 밀도입니다. 일반적으로 압력을 파스칼/제곱미터로 표현합니다. 하지만 파스칼/제곱미터는 또한 줄/입방미터와 같습니다. 압력은 본질적으로 부피 에너지 밀도입니다. 필드
r (x,y,z)와 p (x,y,z)
정적 시스템에서는 문제의 입력이 됩니다. 이 스칼라 필드로부터 텐서 T를 구성할 수 있습니다. 그러면 질문은 다음과 같이 됩니다:
- 어떤 기하학이 이와 같은 텐서 필드 T (x,y,z)와 방정식 (42)를 만족하는지?
우주의 지역적 내용이 주어졌을 때, 이론가는 시공간 초표면의 지역적 기하학을 구성해야 합니다. 하지만 왜 그런가요?
여기서 두 번째 기본 가설을 사용합니다:
- "우리 우주를 구성하는 모든 물체는 시공간 초표면의 지오데식을 따릅니다."
물체는 별, 행성, 원자, 광자, 기본 입자일 수 있습니다.
입자는 장 방정식에서 나와야 하나요? 전혀 아닙니다. 일반 상대성 이론은 이들을 완전히 무시합니다. 일반 상대성 이론 전문가에게 우주는 연속체이며, 그 이상은 없습니다. 입력 함수 r과 p는 우주의 거시적 설명에 해당합니다. 출력도 마찬가지입니다. 지오데식 시스템입니다. 일반 상대성 이론 이론가에게 우주는 초표면이며, 그 이상은 없습니다. 그는 말합니다:
- 당신이 저에게 r(x,y,z)와 p(x,y,z) 함수를 주셨습니다. 저는 당신을 위해 장 방정식을 따르는 적절한 초표면을 만들었습니다. 저는 가능한 모든 경로, 즉 지오데식 시스템을 결정했습니다. 하지만 저는 당신을 위해 입자를 만들 수 없습니다. 죄송합니다. 다른 부서로 가세요.
요약하자면, 일반 상대성 이론과 기본 입자 세계 사이의 다리는 여전히 건설자가 필요합니다.
하지만 천문학자는 말할 것입니다:
- 누가 관심이 있겠습니까? 광자는 이 초표면의 특별한 지오데식을 따라야 합니다. 작동합니다. 광학 장비로 현상을 관찰할 수 있습니다. 행성도 다른 종류의 지오데식을 따라야 합니다. 이 또한 작동합니다. 그들의 경로를 계산하고, 수성의 근일점 예측을 예측할 수 있습니다. 중력 렌즈 효과도 있습니다.
그는 옳습니다.
이 중력 효과에 대해 조금 더 말해보겠습니다. 먼저, 둔한 원뿔의 이 이미지는 단순한 교육용 이미지입니다. 예를 들어, 별 주위를 회전하는 행성의 경로를 설명할 수 없습니다: (43)
이것은 교육용 이미지의 한계를 단순히 보여줍니다. 하지만 이 예를 사용하여 중력 렌즈 효과를 두 지오데식을 통해 설명할 수 있습니다:
(44)
아래는 공간의 정신적 유클리드 표현입니다. 미라지 효과가 있습니다. 단일 물체 대신 관측자는 두 개의 "중력 미라지"를 보게 됩니다.