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좌표에 불변적인 형식
이것은 일반 상대성 이론의 또 다른 핵심 용어입니다. 우리는 우주론가의 작업이 내부 응력으로 인해 재료의 형태를 예측하는 것과 동일하다고 말했습니다. 표면이 구의 위상 구조를 가진 물체를 생각해보세요. 이 물체는 금속으로 된 구입니다. 다시 말해, 우리는 뜨거운 공기와 차가운 공기의 흐름을 사용하여 이를 가공할 수 있습니다. (45)
이 흐름은 금속에 응력을 일으키고, 이는 그 모양을 바꿉니다. 물론, 열이 금속에 전달되므로, 가열과 냉각을 중단하면 구의 온도가 균일해지고, 그 모양은 다시 규칙적이게 됩니다. 우리는 재료에 응력을 가해 그 기하학을 바꿉니다. 이 응력장은 텐서 T라고 불리는 수학적 객체로 설명할 수 있습니다. 물체의 기하학은 아인슈타인 방정식과 유사한 장 방정식으로 계산할 수 있습니다. (46) S = a T 여기서 a는 상수이고, S는 기하학적 텐서로, 기하학적 특성을 설명합니다. 해결책을 "읽는" 가장 좋은 방법은 지오데식 시스템을 계산하는 것입니다. 우리는 구의 지오데식을 알고 있지만, 달걀의 지오데식은 다릅니다. 이러한 지오데식을 표현하려면 좌표계가 필요합니다. 구의 경우 (q, j) 좌표계를 사용할 수 있습니다. (47)
이 특별한 좌표계에서 구의 지오데식은 특별한 형태로 표현됩니다. 예를 들어, 곡선: q = 상수 (경도)
는 지오데식입니다. 그러나 곡선
j = 상수 (위도)는 이 표면의 지오데식이 아닙니다. 우리는 달걀 표면에도 유사한 좌표계를 정의할 수 있습니다. 하지만 분명한 사실은 지오데식 시스템이 특정 수학적 표현과는 무관하게 존재한다는 것입니다. 지오데식 시스템은 좌표에 불변적입니다. 다른 예는 훨씬 더 간단합니다. 평평한 종이의 지오데식을 생각해보세요. 이들은 직선입니다. 우리는 이 직선들을 직각 좌표계로 표현할 수 있습니다. (48) 우리는 이 직선들의 집합을 극좌표계로도 표현할 수 있습니다. 이 경우 방정식은 완전히 다를 수 있지만, 같은 직선들의 집합을 나타냅니다. 이 직선들은 평평한 종이의 지오데식으로서, 선택된 좌표계와 무관하게 존재합니다. 이들은 좌표에 불변적인 객체입니다. 방정식은 본질적인 특성이 아닙니다. 좌표계를 바꾸었을 때 변하지 않는 것은 무엇일까요? 네, 두 점 M1과 M2 사이의 지오데식 경로는 변하지 않습니다. 표면 위에 그려진 어떤 곡선도 마찬가지입니다. 표면, 점, 그리고 두 점을 연결하는 곡선은 선택된 좌표계와 무관하게 존재합니다. M1과 M2 사이의 경로 길이도 마찬가지입니다. 이는 두 점을 연결하는 특별한 곡선인 지오데식 호에 대해서도 성립합니다. (49) 또한, 이 지오데식 경로는 최대/최소 경로(여기서는 최단 경로)입니다. 이는 시공간 초표면에도 적용됩니다. 이 초표면은 자체적인 지오데식 시스템을 가지고 있으며, 이 시스템도 좌표에 불변적입니다. 이 초표면에서는 s라는 길이가 존재하며, 이는 선택된 좌표계와 무관하게 물체에 속합니다. 어려운 점은 공간과 시간이 독립적인 양이 아니라는 것입니다. 우리는 3차원 공간에 있는 점(x, y, z)에 살고 있는 것이 아닙니다. 우리는 4차원 초표면에 속해 있으며, 이는 자체 지오데식 시스템으로 완전히 설명됩니다. 이 초표면의 두 개의 다른 점 M1과 M2를 생각해보세요. 이 점들은 주어진 4개의 좌표계에서 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1) M2 ---> (x2, y2, z2, t2) 이러한 점들은 사건이라고 불립니다. 만약 존재한다면, 이 두 점을 연결하는 지오데식 곡선을 계산할 수 있습니다. 이러한 사건들은 동일하지 않습니다. 두 사건 사이에는 좌표에 불변적인 거리 s를 측정할 수 있습니다. 이 길이는 다음과 같이 불립니다:
고유 시간 s
당신과 제가 우주선을 이용하여 시공간 내의 한 점 M1에서 다른 점 M2로 여행한다고 가정해보세요. s는 우리 탑승한 시계가 보여주는 시간의 측정치입니다.
당신은 말할 것입니다: - 하지만 공간은 존재하는 것이 아니냐? - 주의해주세요. 우리가 공간과 "절대 시간"이라고 부르는 것에 대한 정의는 임의적인 선택에 해당합니다. 이는 단지 표면을 "읽는" 데 유용한 방법일 뿐입니다. 예를 들어, 평평한 종이 위에 직선의 방정식을 두 가지 다른 방정식으로 쓴 것과 마찬가지입니다. 변하지 않으며, 좌표에 불변적인 것은, 다른 좌표에 불변적인 물체인 지오데식선을 통해 연결된 두 사건 사이의 고유 시간 간격 Δt입니다. "절대 시간" t는 단지 약간의 임의적인 시간 표시자일 뿐입니다. 좌표계를 바꾸면, 사건의 해석도 바뀝니다. 이 웹사이트에서 우리가 발표할 논문들을 통해 이 문제가 실제 문제임을 알게 될 것입니다. 어쨌든, 물리학자와 수학자들이 텐서를 기반으로 한 좌표에 불변적인 형식을 선택한 이유를 이해하게 되었을 것입니다. 텐서 형태의 방정식은 좌표에 불변적입니다.
이것이 일반 상대성 이론의 정신입니다. 하지만 고급 장비를 사용하지 않는 한, 이에 대해 더 설명하기는 어렵습니다.
원본(영어)
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Coordinate-invariant formalism.
This is another key-word of general relativity. We said that the work of the cosmologist was equivalent to the one which consists to predict the shape of a material, due to internal stress. Take an object, whose topology is the one of the sphere. It is a sphere made of metal. Here again we could shape it, with hot and cold air fluxes. (45)
These fluxes create stress in the metal, which modifies its shape. Of course, as the heat propagates in metal, if one stops heating and cooling, the temperature of the sphere returns to uniformity and its aspect becomes regular again. We create stress in the material, which modifies its geometry. This stress field can be described by a mathematical object called a tensor T. The geometry of the object could be calculated from a field equation, similar to Einstein's equation. (46) S = a T where a is a constant and S a geometrical tensor, which describes the geometrical features. The best way to "read" the solution would be to compute the geodesic system. We know the geodesics of the sphere, but geodesics of an egg are different. To express these geodesic we need a coordinate system. For a sphere we can use a (q,j) system : (47)
In this peculiar system of coordinates the geodesic of a sphere can be expressed into a peculiar form. For an example the curves : q = constant (meridians)
are geodesics. But the curves
j = constant (parallels) are not geodesics curves of that surface. We could define a similar system of coordinates on the surface "egg". But something is evident : The geodesic system exists independently of its mathematical representation (in a given, peculiar system of coordinates). The geodesic system is coordinate-invariant. Another example is much simpler. Consider the geodesics of a plain sheet. They are straight lines. We can describe these straight lines in cartesian coordinates : (48) We can also describe this family of geodesics in polar coordinates. Then the equations are completely different, but they refer to the same family of straight lines. These straight lines, geodesic of the plain sheet, exist independently of the chosen coordinates. They are coordinate-invariant objects. The equations are not an intrinsic attribute. Is it something that does not change when we shift from a system of coordinates to another one ? Yes : the geodesic path, between two points M1 and M2 does not change. Same thing for any line drawn on the surface. The surface, the points, the curve which joins them exist independently of the chosen coordinates. Same thing for the length of the path between M1 and M2. This is also true for a geodesic arc, which is a peculiar line joining two points : (49) By the way, this geodesic path is also an extremum path (for example the shortest one, shown there). This is similar for the space-time hypersurface, which owns its system of geodesics, also coordinate invariant. On this hypersurface a length s does exist, which belongs to the object and is independent of the chosen system of coordinates. The difficult point is that space and time are not independent quantities. We don't live in a 3d space, with points (x , y , z) . We belong to an 4d-hypersurface which is fully described by its system of geodesics. Consider two distinct points of this hypersurface M1 and M2 . Such points can be described in a given system of four coordinates :
M1 ---> (x1 , y1 , z1, t1 ) M2 ---> (x2 , y2 , z2, t2 ) These points are called *events *. We can calculate the geodesic curve which links them, if there are any. Such events are not identical. Between the two we can measure a distance s, which coordinate-invariant. This length is called :
proper time s
Assume you and I use a space ship to travel, from a point M1 to another point M2 , located in space time. s is the measure of the time on our board-watch.
You will argue : - But space exists, no ? - Be careful. This definition of what we call space and "absolute time" corresponds to an arbitrary choice. They are just some convenient way to "read" the surface, like when we wrote the straight lines equation, in a plain sheet, into two different equations. The only thing that does not change, which is coordinate-invariant, is the proper time interval Dt between two events linked by another coordinate invariant object : a geodesic line. The so-called "absolute time" t is nothing but a somewhat arbitrary chronological marker . Changing your coordinate system, you change the reading of the events. In the papers that we will present in this website you will see that this is a real problem. Anyway, you understand why physicists and mathematicians have chosen a coordinate-invariant formalism, based on tensors. Tensor-form equations are coordinate-invariant.
This is the spirit of general relativity. But, except using sophisticated hardware, it is difficult to tell you more about it.