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특이점 문제.
구면에서 어떤 좌표계를 선택하더라도 특이점을 피할 수 없습니다(예: 두 개의 극 특이점):
(50)
단일한 "극 특이점"을 사용하여 구면을 지도화할 수 있음을 주의하십시오. 이 첫 번째 평면족을 같은 직선을 지나는 모든 평면으로 구를 자르십시오:
(51)
그런 다음 두 번째 평면족을 도입하여, 이 평면족 역시 구와 교차합니다.
(52)
이 지역의 문제를 제외하면, 다른 곳에서는 문제가 없습니다. 구를 반대편에서 관찰하면 다음과 같이 얻을 수 있습니다:
(53)
그러나 S점에서는 a와 b의 값이 단순히 정의되지 않습니다!
그러나 구는 본질적으로 매끄러운 표면입니다. 계란을 손에 잡고 돌리면, 특별한 점이나 내재적인 특이점을 발견하지 못할 것입니다.
(54)
결론: 이러한 특이점은 좌표계 선택에 의한 인위적인 결과입니다.
이 극 특이점은 "실제"가 아니며, 내재적인 특이점도 아닙니다. 당신이 좌표계를 선택하면, 임의의 점 또는 두 개의 점이 특이점이 됩니다. 지도화된 구의 두 개의 특이점인 북극과 남극은 좌표계 선택에 의한 순전히 인위적인 창조물입니다.