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반대로, 표면에는 실제적인 내재적 특이점이 존재한다. 이것들은 진정한 기하학적 특이점이다:
(55)
(56)
(57)
그리고 이와 같은 식으로 계속된다.
또한, 접힌 부분은 선형 곡률이 집중된 표면의 특별한 영역이다. 그림 (57)에서 왼쪽에는 음의 선형 곡률이 있고, 오른쪽에는 양의 선형 곡률이 있다.
각 하위 그림에서 우리는 구의 두 조각을 사용했다. 전체 물체는 구와 동일한 위상 구조를 가지고 있으며, 이는 전체 각도 곡률이 $4\pi$라는 의미이다.
왼쪽의 물체가 각각 $3\pi$의 각도 곡률을 포함하는 두 조각의 구로 만들어졌다고 가정하자:
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
이것은 너무 많다. 따라서 최종적으로 필요한 값 $4\pi$를 얻기 위해 음의 선형 곡률이 이를 보완해야 한다:
결론적으로, 우리의 접힌 부분에는 다음과 같은 음의 곡률이 포함되어 있다:
$$
-2\pi
$$
이 곡률은 접힌 부분의 원주를 따라 균일하게 분포되어 있다.
그림 (57)로 돌아가자. 우리는 지오데식선으로 구성된 삼각형을 그려 보였다. 하지만 테이프(가늘게 자른)를 사용하면 접힌 부분을 쉽게 지나갈 수 있다. 삼각형의 세 각의 합을 계산하고 예측하는 방법을 알고 있다. 삼각형의 넓이를 구의 넓이와 비교하면 된다. 곡률의 여분은 다음과 같다:
$$
\text{(58)}
$$
그러나 접힌 부분의 일부인 호 $mn$에 포함된 곡률(음의 또는 양의)을 고려해야 한다. 이 곡률은 다음과 같다:
$$
\text{(59)}
$$
그림 (57) 오른쪽에 있는 어떤 렌즈가 두 조각의 구로 만들어졌다고 가정하자. 각각의 구 조각은 $\pi$의 각도 곡률을 포함한다. 따라서 접힌 부분을 무시하면 두 구 조각은 $2\pi$의 각도 곡률을 포함한다. 하지만 이 렌즈는 구형의 위상을 가지고 있으므로, 각도 곡률 기여는 $2\pi$가 되어야 한다. 따라서:
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(구의 전체 곡률)}
$$
이 이상한 삼각형, 즉 세 개의 지오데식선으로 구성된 삼각형의 각의 합도 예측할 수 있다. 호 $mn$은 다음과 같은 선형 각도 곡률을 포함한다:
$$
\text{(60)}
$$
삼각형 내부의 접힌 부분에 포함된 각도 곡률의 양을 측정하면, 유클리드 합 $\pi$와의 차이를 평가할 수 있다.
이렇게 보아, 표면에서의 곡률 문제를 상대적으로 쉽게 다룰 수 있음을 알 수 있다.
표면은 원뿔 모양의 점이나 접힌 선을 가질 수 있다. 이들은 내재적 특이점이며, 좌표계의 특정 선택에 의해 발생하는 인위적 특이점은 아니다. 접힌 부분을 매끄럽게 할 수 있음을 주목하자. 그러면 캐슈넛과 비슷한 형태가 된다:
$$
\text{(61)}
$$
이는 원뿔의 점 모양 꼭짓점(집중된 각도 곡률)을 매끄럽게 하는 것과 같다. 이로 인해 물체는 둥근 원뿔(구의 일부에 분포된 각도 곡률)이 된다.
그림 (61) 위에 있는 두 구 조각이 각각 구의 $2/3$을 나타내며, 이는 곡률이 다음과 같다고 가정하자:
$$
\text{(62)}
$$
"캐슈넛"의 회색 부분은 음의 곡률을 포함하고 있으며, 정확히 다음과 같다:
$$
\text{(63)}
$$