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대표 공간.
우리는 이전 섹션에서 원기둥이 평평하게 펼 수 있음을 보았다. 이제 종이 한 장, 평평한 표면을 가져라. 이는 유클리드 표면이다. 이 표면 위에 지오데식을 그릴 수 있다. 이제 이 종이를 구겨라. (64)
이 구겨진 표면을 단단하게 만들고 테이프로 지오데식을 그린다면, 다시 같은 시스템을 만나게 될 것이다! 표면은 실제로 변하지 않았다. 만약 어떤 거주자가 이와 같은 "평평한 땅"에서 살아간다면, 구김 과정을 인식하지 못할 수도 있다. 그에게는 모든 것이 오늘날과 마찬가지로 정상적으로 보일 것이다. 예를 들어, 2차원 시공간 표면의 지오데식을 따르는 것처럼 말이다.
종이를 구겨서, 당신은 단지 대표 시스템만 바꾼 것이지, 2차원 표면이 3차원 유클리드 공간에 어떻게 매립되는지에 대한 방법만 바꾼 것이다.
더 간단한 변화는 평평한 금속 판을 파동 모양의 표면으로 바꾸는 것이다. 그림 (65) 참조 (65)
수년 전, 에티오피아의 아디스아바에서 큰 시장에 있었는데, 거기서는 금속이 드물다. 젊은 사람들이 단순한 해머를 사용하여 파동 모양의 철판을 평평한 판으로 바꾸는 공장들이 있다. 만약 그 중 한 사람이 작업 전에 지오데식을 그려놓았다면, 지오데식 시스템이 변하지 않았음을 알 수 있을 것이다.
하지만 솔직히 말해서, 이와 같은 사람이 수학적으로 지오데식이 무엇인지 아는지 확신하지 못한다. 어떤 사람이 바구니를 만든다면, 자연스럽게 지오데식선을 사용한다.
내가 버펄로와 챔플레인 호수 근처의 여름 캠프에서 바구니 직조 강사였음을 기억한다... 수년 전의 일이다.
기하학적 물체는 자신만의 존재와 속성을 가지고 있으며, 이는 당신이 고차원 공간에서 어떻게 표현하느냐와는 무관하다는 것을 기억하라. 구겨졌든 아니든, 종이는 종이일 뿐이며, 즉 유클리드 표면이다.
우리는 4차원 초표면에서 살고 있다고 한다. 우리는 모두 동일한 방식으로 살아간다. 하지만 내 아내 클레어는 매우 매력적인 사람인데, 그녀는 내가 다차원 공간(그녀의 말에 따르면 5차원)에서 산다고 확신하고 있다. 이는 종종 내가 개인적인 5차원 공간에 있을 때 의사소통에 어려움을 초래한다.
그렇다면 여성들은 정말로 4차원 초표면에서 살아가고 있는가? 가끔은 의심스럽지만, 이는 다른 문제이다.
당신이 4차원 초표면에서 살아가고, 그 시공간의 지오데식을 따르고 있다고 가정해보자. 이는 소가 자신의 농사길을 따르는 것처럼 말이다.
이제 당신이 신이라면, 이 4차원 초표면의 완전한 표현을 원한다. 그러면 적어도 하나 더 차원이 필요하다. 개인적으로, 신이 존재한다면, 그는 10차원의 초세계에 살고 있을 것이라고 생각한다. 이 후속 논리는 기하학적 물리학 B에서 다루어지며, 군 이론에서 비롯된다.
신은 군 구조를 가지고 있는가?
실제로, 일반 상대성 이론 전문가는 장 방정식의 해(아인슈타인의 해)를 계산한다. 그 후, 지오데식 시스템을 검토한다. 이들은 "4차원 직선"이다. 시공간에서 지오데식을 따르면, 일반적인 순서는 다음과 같다:
- 직진하라! 왼쪽이나 오른쪽으로는 돌아가지 마라.
당신은 단지 다른 선택지가 없기 때문에 따를 뿐이다. 시공간에서 회전은 무의미하다. 모든 것, 모든 사람은 직진한다.
하지만 3차원 시선으로 보면, 물체, 경로, 이동이 곡선처럼 보인다. 우리는 이 것을 우리의 정신적 공간 표현에서 읽는다. 플라톤의 동굴 벽을 마주하고, 춤추는 3차원 그림자들을 바라보는 것이다.
우리의 2차원 교육용 이미지인 둔한 원뿔로 돌아가자. 이 원뿔은 질량 집중부(회색 영역) 근처의 공간을 나타내는 것으로 예상된다. 우리는 이가 정상 상태에 해당한다고 가정한다.
우리는 구면 좌표계 (r, q, j)를 공간 표시자로 사용할 수 있다(3차원에서). 2차원에서는 단지 두 개의 좌표만 있다: (r, q).
그러면 그림을 평면에 투영하고, 동일한 극좌표계를 사용할 수 있다. 다음 그림을 참조하라.
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위에서 언급했듯이, 둔한 원뿔 표면은 아인슈타인 장 방정식의 특별한 해를 암시하는 거친 교육용 모델이다.
(67) S = c T
1917년에 슈바르츠실트에 의해 만들어진 이 해는 뛰어나고 영리한 작업이다. 단지 말할 수 있는 것은, 그 시기에 알베르트는 황량한 섬에서 고립된 천재가 아니었다는 것이다. 많은 사람들이 독일의 위대한 수학자 힐베르트가 "아인슈타인 방정식"을 발명했다고 생각한다. 또 다른 사람들은 에이인슈타인 부인이 특수 상대성 이론의 건설에 효과적으로 기여했을 수도 있다고 제안했다. 이는 푸앵카레와 로렌츠의 작업에서 자연스럽게 유도된다(아인슈타인의 작업을 보면, 그는 다른 사람들을 거의 언급하지 않는다).
슈바르츠실트의 해는 일반 상대성 이론의 중요한 기반이다. 이는 태양 주위의 행성의 상대적 궤도를 계산하는 데 사용되며, 수성의 근일점의 회전을 드러낸다.
어떤 사람이라도 즉시 말할 것이다:
- 왜 슈바르츠실트는 스스로 이를 계산하지 않았을까?
그 이유는 매우 간단했다: 그는 죽었다.
슈바르츠실트는 애국자였고, 1917년에 전선에 가기를 강하게 원했다. 거기서 그는 가스에 의해 죽었고, 나중에 사망했다. 아인슈타인은 그의 작업을 이어갔고, 이는 "아인슈타인 이론"이 되었다.
이 해는 정상 상태 해였다. 이후 아인슈타인은 곡률이 에너지-물질 밀도와 동일시될 수 있는 우주 모델을 만들려고 시도했다. 하지만 그 시기에는 아무도 우주가 정상 상태가 아니라는 것을 몰랐다. 알베르트는 정상 상태 모델을 만들려고 시도했지만, 결과는 좋지 않았다. 그 후, 프랑스의 위대한 수학자 에를리 카르탕을 방문하여 장 방정식에 상수를 추가하라고 권고받았고, 아인슈타인이 그렇게 했다.
그 후, 러시아의 글라이더 조종사인 프리드만은 비정상 상태 해를 발명했다. 그와 동시에 에드윈 허블은 적색편이와 우주의 비정상 상태 특성을 발견했다. 아인슈타인은 매우 실망했고, 다음과 같이 말했다:
- 만약 우주가 정상 상태가 아니라는 것을 알았더라면, 프리드만보다 먼저 해를 찾았을 것이다!
이것은 라케데모니아인들이 과거에 말했던 것과 같다.
하지만 이 이야기는 여기서 끝나지 않았다. 처음에는 프리드만이 사이클 해를 만들었는데, 이는 "프리드만 모델"의 세 가지 중 하나였다.
아인슈타인은 수년간 침묵했다. 프리드만의 죽음 후, 그는 "아인슈타인-데시터 모델"과 "프리드만의 포물선 해"를 발표했다.
그 후, 폴란드의 젊은 연구자 칼루자가 "아인슈타인 교수"에게 논문을 제출했지만, 1년 이상 출판이 거절되었다. 칼루자는 아인슈타인에게 항의했고, 아인슈타인이 다음과 같이 대답했다:
- 당신은 이 이론을 더 자세히 살펴봐야 합니다. 저는 회의적입니다...
수년 후, 칼루자의 아이디어(시공간에 다섯 번째 차원을 추가하기)는 고급 연구(초현수 이론을 포함)의 출발점이 되었다. 기하학적 물리학 B를 참조하라.
아, 알베르트는 그렇게 스포츠맨스맨이 아니었구나...
우주 정상 상태 3차원 모델로 돌아가자. 이는 태양 주위의 시공간 기하학을 나타낸다. 계산 결과, 지오데식은 평면에 위치한다. 곡률 효과가 적고, 빛의 속도 c에 비해 속도가 낮다면, 이들의 투영은 유클리드 시공간 대표 공간에서 약간의 케플러 궤도와 케플러의 법칙과 유사하다. 시간을 무시하고, 극좌표계를 사용하여 이 지오데식을 평면에 표현할 수 있다.
r = f (q).
슈바르츠실트 해에서는 사실 두 개의 연결된 "메트릭 해"가 존재한다. 그림 (68) 참조. "질량체" 내부에서는 질량 밀도 r가 일정하다고 가정된다. 그곳에서는 에너지-물질 T 텐서가 비영이다. 하지만 외부에서는 r와 T가 영이다.
(68)
이것은 복합 기하학이다. 3차원에서 질량 밀도는 "질량 집중부"의 표면(구형으로 가정됨)에서 급격한 불연속성을 보인다. 이는 회색 영역에서 각도 곡률 밀도가 비영이고, 외부에서는 영인 표면에서의 각도 곡률 밀도의 불연속성과 유사하다. 경계는 S1 구가 되며, 즉... 원이다.
4차원에서는 지오데식선의 연속성을 보장하기 위해 수학적 연결을 구축할 수 있다. 이는 구의 일부나 포스코니의 일부와 유사하다.
질량이 커지면(우리의 2차원 교육용 모델로는 설명할 수 없는 경우), 폐쇄 경로는 더 이상 타원이 아니다.
그림 (69)을 참조하라. 이 그림은 중성자성 주위를 도는 우주선의 궤도를 나타낸다.
수성의 태양 주위 궤도는 비슷하지만, 타원 궤도의 근일점 회전은 세기당 0.15도이다.
(69)
언제나 우리는 공식과 이 문제를 즐길 수 있는 프로그램을 포함할 것이다. 어렵지 않다.
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