a122
| 23 |
|---|
기하학적 맥락.****
구는 두 개의 차원을 가진 기하학적 물체입니다. 그 위의 한 점을 위치시키기 위해 두 가지 양, 두 개의 숫자, 두 개의 스칼라가 필요합니다.
구는 위상구조를 가지고 있습니다. 그 위상구조는 토러스의 것과 다릅니다.
두 개 모두 지오데식 시스템을 가지고 있습니다. 이전 섹션에서 언급했듯이, 구 위에 두 개의 다른 점 M1과 M2와 이 두 점을 연결하는 곡선을 상상할 수 있습니다. 그러면 이 특정 경로를 따라 길이를 측정할 수 있습니다. 이는 좌표 변화에 관계없이 일정한 양입니다. S² 구는 3차원 대표 공간과는 무관하게 존재합니다. 그러나 우리는 익숙한 3차원 유클리드 공간에서 그녀를 표현할 수 있습니다. 우리는 이 공간에서 살아가고 있다고 가정합니다. 그러면 우리는 구에 중심을 부여하고 모든 점을 그 중심과 연결할 수 있습니다. 그림 (116)을 참조하십시오. 각 점은 두 개의 각도 q와 j에 해당합니다.
(116)
구에 구멍을 뚫어 중심 O와 구의 점 M 사이의 벡터 OM을 보여주었습니다.
이제 그림 (117)은 벡터를 유지하고 구는 잊었습니다.
(117)
이 반직선들은 무한하지만, 우리가 구의 반지름 R에 해당하는 주어진 길이에서 잘린 것으로 나타냈습니다. 각 직선은 (q, j) 쌍에 해당합니다. 메트릭 구조는 사라졌습니다. 지오데식도, 길이도 없습니다. 남아 있는 것은 무엇일까요?
이 반직선들 각각은 이웃을 가지고 있으며, 이 이웃들이 그들의 이웃성을 형성합니다. 각 반직선은 그림 (118)에 나와 있는 것처럼 여러 개의 원뿔에 둘러싸여 있다고 상상할 수 있습니다.
(118)
어떤 직선 주변에도 원뿔의 줄을 원하는 만큼 놓을 수 있습니다. 이 원뿔들 사이에는 항상 다른 원뿔을 놓을 수 있습니다. 이는 미분 가능성의 개념을 직관적으로 제안합니다. 이러한 기하학적 물체에서는 어떤 불연속성도 없습니다.
이제 구를 잊고 평평한 표면을 생각해보겠습니다. 이는 점들의 집합입니다. 어떤 좌표계를 선택하든, 점들을 (x,y), (r,q) 등으로 정의할 수 있습니다.
실수의 쌍입니다. 이 쌍들은 실수 집합인 R²에서 선택됩니다. 예를 들어 (3,8705, -17,56)와 같은 것입니다.
어떤 실수 쌍 (x; y)은 무한한 수의 이웃 (x + Dx; y + Dy)을 가지고 있습니다.
이러한 "전-메트릭" 물체는 수학자들이 다양체라고 부릅니다.
이러한 "유연한" 매체를 생각하는 것은 상당히 어렵습니다. 그림 (119)에서는 메트릭 속성을 가진 단단한 평평한 표면을 나타내고, 그 아래에는 그 점들의 그림자입니다.
(119)
그림자는 자체적인 형태나 넓이가 없습니다. 그림자는 스크린과 빛의 방사에 따라 달라집니다. 그림 (120)에서는 물체에 비해 그림자의 상대성을 제안하고 있습니다.
(120)
이 "평행선"은 구의 중심과 연결하기 위해 도입한 빛의 방사선과 유사합니다. 여기서 평면의 점들은 무한원에 있는 "원천"과 연결됩니다.
이 마지막 직선 개념을 포기해보겠습니다. 요리된 스파게티의 뭉치를 생각해보세요 (만약 요리되지 않았다면, 단단하고 부서질 것입니다). 우리는 그것을 구부릴 수 있습니다. 하지만 스파게티가 서로 붙어 있어야 합니다. 그들의 이웃성은 변경되어서는 안 됩니다.
(121)
이 모든 것은 매우 대략적이며, 완전히 엄밀하지 않습니다. 저는 단지 독자에게 메트릭이 없는 기하학적 물체인 다양체가 무엇인지 제안하고자 합니다. 그 주요 특성은 각 점이 이웃을 가진다는 것입니다.
다양체는 점들의 집합 m입니다. 저는 다양체의 각 점에 실재하는 표면에 속하는 두 점 (M1, M2)의 쌍을 할당할 수 있다고 상상할 수 있습니다. 이 표면들은 메트릭 속성, 길이 등을 가지고 있습니다.
저는 n차원 다양체를 골격 다양체라고 부르고, n차원의 관련 표면을 단순히 접힘이라고 부릅니다. 그런 다음 저는 다양체의 이중 접힘을 구성합니다.
그림 (122)에는 2차원 다양체 m2의 이중 접힘입니다.
(122)
그림 (122)에서는 동일하고 평행한 유클리드 접힘(평면)을 나타내었으며, 이들은 동일한 메트릭을 가지고 있습니다. 그러나 저는 그림 (123)을 구성할 수도 있습니다:
M과 M는 공액점이라고 부릅니다. "골격 다양체"로부터 이 두 개의 접힘을 구성하는 것은 명확한 의미를 가지고 있습니다. 접힘 F의 어떤 점 M에도 오직 하나의 공액점 M만을 할당할 수 있습니다. 점에서 점으로의 매핑이 존재합니다. 따라서 우리는 골격 다양체를 잊을 수 있습니다.
접힘 F의 어떤 점의 이웃은 그 공액점 M의 이웃과 대응합니다. 그림 (124)을 참조하십시오. 이는 F의 어떤 정상적인 영역이 F에 속하는 정상적인 공액 영역과 대응함을 의미합니다.
(124)
이것은 특히 공액점 M과 M*가 동일한 좌표 집합으로 설명된다는 것을 보여줍니다.