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공액 곡률****
로컬 양의 또는 음의 곡률을 가진 3차원 공간을 어떻게 이해할 수 있을까요?
2차원 표면부터 시작해 봅시다. 구를 생각해 보고, 그 위의 어떤 점에 못을 박습니다(도면 125 참조). 길이가 L인 실을 못과 연필에 연결합니다. 이걸로 원, 즉 구의 평행선을 그릴 수 있습니다. 구의 평행선은 주어진 점 S로부터 거리 L이 같은 모든 점들의 집합입니다.
위와 같은 작업을 할 수 있습니다(도면 125 참조):
- 말 등에
- 평면에
(125)
평면 표면에서는 둘레는 2πL이고, 원의 넓이는 πL²입니다.
구에서는 둘레와 원의 넓이가 작습니다. 반면, 말 등에서는 둘레와 원의 넓이가 큽니다.
구와 그 등대에 해당하는 평행선을 생각해 봅시다. 도면 126을 참조하십시오. 값들은 도면 126에 해당합니다.
(126)
원의 넓이는 구의 해당 부분(회색)보다 3.875배 큽니다. 둘레는 등대의 길이보다 1.57배 더 길습니다.
비슷한 실험들은 말 등이 음의 곡률을 가진다는 것을 보여줄 것입니다. 주어진 점에서 거리 L의 모든 점들로 이루어진 폐곡선을 그릴 때, 말 등에서의 음의 곡률 원의 넓이는 평평한 원 πL²보다 큽니다. 마찬가지로, 음의 곡률 원의 둘레는 평평한 원의 둘레 2πL보다 큽니다.
기하학은 눈먼 사람들을 위한 학문입니다. 기하학자들은 특정 공간의 거주자가 스스로 그 공간의 기하학적 성질을 발견할 수 있도록 실험을 설계하려고 노력합니다. 이전의 그림들을 통해, 외부에서 바라보지 못하고 그 안에 살고 있는 2차원 표면의 거주자들은 넓이와 길이 측정을 통해 자신들이 살고 있는 표면의 일부가 로컬 양의 곡률, 로컬 음의 곡률, 또는 로컬 영 곡률(유클리드 공간)을 가졌는지 알아낼 수 있습니다.
로컬 곡률이 양, 영, 음일 수 있는 표면들이 존재한다는 것을 주의 깊게 살펴보세요. 예: 토러스.
(126ter)
비슷한 방법은 3차원 공간에도 적용됩니다. 어디든 점 O를 선택하세요. 실과 연필을 사용하여 주어진 점에서 거리 L에 있는 모든 점을 그립니다. 구를 얻고, 그 넓이를 측정할 수 있습니다. 만약 이 표면이 3차원 유클리드 공간에 만들어졌다면, 그 넓이는 4πL²이 될 것입니다.
그 넓이가 작게 측정된다면, 이 3차원 공간은 유클리드 공간이 아닙니다. 이는 양의 곡률을 가진 리만 3차원 공간입니다. 부피를 측정하면, 그 부피가 (127)보다 작다는 것을 알게 될 것입니다.
음의 곡률을 가진 3차원 공간을 다룰 때는 상황이 반대로 됩니다. 고정된 점 O에서 거리 L에 있는 점들의 집합으로서의 구의 넓이는 4πL²보다 큽니다. 이 폐곡면 내부의 부피는 (127)보다 큽니다.
우주론은 단순한 3차원 공간이 아니라 4차원 초표면(호불적 서명을 가진)에 기반하고 있으므로, 이 설명은 제한적입니다. 이는 단순한 교육용 모델로 받아들여야 합니다.
n차원 공간의 리만 스칼라 곡률은 약간 다릅니다.
현재 우리의 우주론 모델에서는, 공액점(M, M)에서의 로컬 스칼라 리만 곡률이 반대라고 가정합니다:
*(127bis)
R* = - R
전문가는 다음 논문에서 더 자세한 내용을 찾을 수 있습니다:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, 1998년 3월.
다음은 도면 39에 해당하는 2차원 교육용 이미지입니다.
(128)
상단: 매끄러운 포지코인. 포지코인의 일부에서 로컬(각도) 곡률이 0입니다. 구의 회색 부분에서 일정한 양의(각도) 곡률 밀도가 있습니다.
하단: 매끄러운 네가코인. 네가코인의 일부에서 로컬(각도) 곡률 밀도가 0입니다. 말 등 주변의 네가코인 부분에서 일정한 음의(각도) 곡률 밀도가 있습니다. 말 등에서 구의 부분과 마주보는 부분에서 일정한 음의(각도) 곡률 밀도가 있습니다.
곡률은 공액입니다. 포지코인과 네가코인의 로컬 곡률이 0인 부분이 서로 마주보고, 점 대 점 대응이 됩니다.
포지코인과 네가코인의 로컬 곡률이 0인 부분이 서로 마주보고, 점 대 점 대응이 됩니다. 일정한 양의 곡률 표면(구의 일부)과 음의 곡률 표면(말 등)이 서로 마주보고 있습니다. 곡률 밀도는 같고 반대입니다. 원형 경계는 점 대 점으로 연결되어 있습니다.
이것은 우리의 우주론 모델의 교육용 이미지입니다. 더 많은 수학적 세부 사항은 다음을 참조하십시오:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, 1998년 3월.