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측지선.
...이하에서는 2차원 곡면을 다룬다. 그런데 왜 곡면이 2차원 대상인가? 곡면 위의 한 점을 특정하려면 두 개의 매개변수가 필요하기 때문이다. 예: 지구 위의 경도와 위도.
...이것들은 머리보다 손으로 더 잘 이해하게 될 것들이다. 이 글을 읽기 전에 몇 가지를 찾아보라. 필요한 것:
- 단단하면서도 유연한 종이.
- 색깔 있는 점착 테이프.
- 가위
...이하에서 이런 색깔 있는 점착 테이프로 일정한 폭의 띠를 만들 수 있다.
(6)
...아무 곡면이나, 예를 들어 자동차의 차체를 잡아라. 주름이 생기지 않도록 조심하면서 점착 테이프 띠를 그 위에 붙일 수 있다. 그러면 이 곡면의 측지선을 얻는다. 자동차 차체 위에는 그것들이 무한히 많다.
평평한 접시 위에서도 할 수 있다. 그러면 "평면의 직선들"을 얻는다.
"직선"은 평면 위의 것들, 즉 특별한 측지선일 뿐이다.
(7)
세 개의 측지선으로 이 "유클리드 곡면" 위에 삼각형을 만든다. 그러면 세 각의 합은 180°이다.
포지콘.
...이제 "포지콘", 일종의 "양의 원뿔"을 만들어 보자. 종이 한 장, 즉 평평한 곡면을 잡고 가위로 부채꼴을 잘라라. 그런 다음 다음 그림에 표시된 대로 선 SA와 SB를 맞붙여라.
(8)
...이제 우리의 점착 테이프로 그림 (9)에 보인 것처럼 그 곡면 위에 세 개의 측지선을 그린다. 세 각의 합을 측정할 수 있으며 두 가지 경우를 발견한다:
삼각형이 이 포지콘의 꼭짓점 S를 포함하지 않으면, 합은 여전히 180°이다.
꼭짓점을 포함하면, 그것이 주위에 어떻게 배치되든, 작든 크든, 합은 180° + q이다.
(9)
이해하려면 포지콘을 잘라서 평평하게 펼 수 있다. 그러면 q 각이 분명하게 나타난다.
(10)
...두 직선 AH와, 따라서 직선 SH와 SH'가 q와 같은 각을 이룬다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
... 원뿔은 꼭짓점을 지나는 선을 따라 자른 후 평평하게 펼 수 있는 곡면이다. 프랑스어로는 "développable" 곡면이라고 하지만, 사전에서 영어 단어를 찾지 못했다. 원기둥도 마찬가지다.
(11)
...점착 테이프 띠로 원기둥 위에 측지선을 그릴 수 있다. 그러나 자른 뒤 원기둥을 평평하게 펼치면, 측지선은... 직선이 된다.
이런 곡면(원뿔, 원기둥)을 평면 위에서 굴릴 수도 있다. 다음 그림.
(12)
...잉크로 원뿔이나 원기둥 위에 측지선을 그린 다음, 그것을 인쇄 판으로 사용하여 평면 위에서 굴릴 수 있다. 그러면 평면 위에 직선이 인쇄된다.
...반대로, 평면 위에 직선을 그리고 잉크가 마르기 전에 원뿔이나 원기둥을 그 위에서 굴리면, 그 위에 측지선이 인쇄된다.
