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(양(+)의) 곡률
평면에 점착 테이프를 이용해 삼각형을 그릴 때, 세 각의 합은 180°입니다. 이는 유클리드 곡면으로, 곡률이 없는 완전한 평평한 면이라고 할 수 있습니다. 이때 삼각형의 내각의 합은 유클리드적 합입니다. 우리가 원뿔형 표면, 즉 '포지콘(posicone)' 위에 삼각형을 그렸을 때, 꼭짓점 S가 그 밖에 위치하면 각의 합은 여전히 180°입니다. 반대로 꼭짓점이 내부에 위치하면, 각의 합은 180°에 각 q(포지콘을 만들기 위해 잘라낸 각도, 그림 (8) 참조)를 더한 값이 됩니다.
이 꼭짓점은 곡면의 특별한 점, 즉 원뿔형 점이며, 여기에 (양의) 집중된 곡률이 존재한다고 말합니다. 이는 (양의) 집중 곡률 점입니다.
이제 각도 q1과 q2에 해당하는 두 개의 절단을 수행할 수 있습니다. 그림 (13)을 참조하세요. 그러면 두 개의 원뿔형 점 S1과 S2를 가진 이상한 곡면을 얻을 수 있습니다. 그림 (14)를 참조하세요.
(13)
(14)
이제 다양한 경우를 나타내는 측지선 삼각형을 원하는 만큼 그려볼 수 있습니다.
- 원뿔형 꼭짓점을 포함하지 않는 경우, 각의 합은 180°입니다.
- 꼭짓점 S1을 포함하는 경우, 각의 합은 180°에 q1을 더한 값입니다.
- 두 꼭짓점 q1과 q2를 모두 포함하는 경우, 각의 합은 180° + q1 + q2입니다.
(15)
이제 매우 작은 포지콘을 다수 만들어 그림 (16)과 같이 붙여볼 수 있다고 상상해 보세요. 각 작은 포지콘은 기본 각도 Dq에 해당합니다. 이러한 미니 원뿔들을 규칙적으로 배열할 수 있습니다. 즉, 한 꼭짓점과 인접한 미니 원뿔들의 꼭짓점 사이의 거리는 거의 모든 곳에서 일정하도록 할 수 있습니다.
(16)
미니 원뿔과 이에 대응하는 기본 각도 Dq가 점점 더 작아지면, 곡률 밀도가 일정한 규칙적인 곡면의 일부를 구성하게 됩니다.
구(sphere)는 국소 곡률 밀도가 일정한 곡면입니다. 더 간단히 말하면, 구는 곡률이 일정한 곡면이라고 합니다.
미니 원뿔을 다른 방식으로 배열하면 국소 곡률 밀도가 변하는 곡면을 만들 수 있습니다. 예를 들어 달걀이 그렇습니다. 암탉의 달걀은 국소 곡률 밀도가 변하는 곡면입니다. 하지만 탁구공은 곡률 밀도가 일정한 곡면입니다. 그래서 암탉은 자신의 달걀을 인식하고 탁구공과 구별할 수 있습니다. 암탉은 점착 테이프로 측지선을 그리는 등 이러한 방식으로 판단합니다...
사실 암탉은 물체 위에 측지선을 물리적으로 그리지 않습니다. 정신적으로 그렇게 합니다.
(17)
일반 상대성 이론에서는 질량 밀도 r을 국소 곡률과 동일시합니다.
물론 일반 상대성 이론의 무대는 2차원 곡면이 아닙니다. 3차원 초곡면을 상상할 수 있고, 3차원 초구도 상상할 수 있습니다. 하지만 누가 4차원 초곡면을 상상할 수 있겠습니까?
참고로, '우주'라고 불리는 4차원 초곡면의 4차원 곡률에는 여기서 탐구하지 않을 특별한 특성들이 있습니다. 이는 교육용 모델에는 한계가 있음을 보여줍니다. 그러나 이러한 모델은 상상력을 자극하고 다소 다른 세계로 마음을 열어주는 데 유용합니다.
