| 4 |
천체의 교육적 이미지 (별, 행성, 밀집된 알)
태양과 같은 별은 질량 집중체입니다. 그 주변은: 진공이거나, 매우 희박한 가스와 광자를 포함하고 있으므로 '거의 비어 있는' 공간의 일부입니다. 2차원에서 이에 해당하는 교육적 이미지는 둔한 (양) 원뿔입니다:
(18)
두 가지 구성 요소를 사용하여 만들 수 있습니다. 구의 일부와 (양) 원뿔의 일부를 접착하여 결합합니다. 구의 일부는 일정한 곡률 밀도를 가진 곡면입니다. 원뿔의 일부는 평평한 곡면, 즉 국소 곡률 밀도가 0인 곡면입니다. 이 마지막 예는 유클리드 곡면입니다. 구의 일부는 비유클리드 곡면(리만 곡면)입니다.
이것은 진공으로 둘러싸인 일정 밀도 r 물체의 2차원 교육적 이미지입니다.
접평면의 연속성을 보장하기 위해 두 요소를 어떻게 결합할까요? 간단합니다. 원뿔의 일부는 절단 각도가 q인 원뿔에서 나온 것입니다. 구의 일부는 기본 (양) 원뿔들로 구성되며, 따라서 일정량의 '각도 곡률' q를 포함합니다. 두 각도가 같다면 접평면은 연속적입니다.
하지만 구의 특정 부분에 포함된 곡률의 양을 어떻게 측정할까요?
총 곡률.
기본 (양) 원뿔들을 이어붙여 곡면을 만들 수 있습니다. 이를 배열하여 일정한 곡률 밀도를 가진 곡면을 얻을 수 있습니다. 그러면 이 곡면은 구의 일부임을 알 수 있습니다. 기본 (양) 원뿔을 점점 더 많이 추가하면 이 구는 완전한 구가 됩니다. 이 구는 일정량의 각도 곡률을 포함합니다. 모든 구는 동일한 양의 각도 곡률을 포함합니다. 탁구공의 총 각도 곡률과 지구의 총 각도 곡률은 무게가 매우 다름에도 불구하고 동일합니다.
참고로, 알의 총 곡률도 동일합니다. 왜냐하면 알은 동일한 위상(topology)을 가지기 때문입니다. 원칙적으로 암탉은 구형 위상을 가진 알을 낳습니다. 개인적으로 토러스(도넛 모양) 위상을 가진 알을 본 적이 없습니다. 그런 알은 머리도 꼬리도 없는 이상한 뱀 같은 것을 의미할 것입니다.
다시 정상적인 구인 탁구공으로 돌아가 봅시다. 이 곡면이 일정한 국소 각도 밀도를 가진다면, 각도 곡률의 양(기본 각도 Dq의 합)은 면적에 비례할 것입니다. 그림 19를 참조하세요. 이 면적은 어떤 종류의 경계로든 제한될 수 있습니다. 하지만 구의 측지선(geodesic)을 사용할 수 있습니다. 구의 면적을 S, 삼각형 내부의 회색 면적을 s라고 합시다.
(19)
앞서, 곡면에 그려진 삼각형의 경우 유클리드 합(180°)과의 편차가 내부에 포함된 원뿔 꼭짓점의 개수에 따라 달라진다는 것을 보았습니다. 그 합은 180°에 내부에 포함된 꼭짓점들에 해당하는 모든 각도를 더한 값이었습니다.
반대로, 유클리드 합과의 편차를 측정하면 삼각형 내부에 포함된 곡률의 양을 측정할 수 있습니다.
구의 측지선은 구의 대원(great circle)이라고 불립니다. 그림 (20)을 참조하세요. 경선과 적도는 구의 대원입니다.
(20)
우리의 구를 면적이 같은 8개의 조각으로 나눌 수 있습니다. 그림 (21)을 참조하세요. 모든 각도가 90°인 8개의 삼각형을 얻게 됩니다. 따라서 유클리드 합과의 편차는 90°입니다. 이 삼각형 각각은 90°의 각도 곡률을 포함합니다. 결론적으로, 구의 총 곡률, 즉 총 각도 곡률은 8 x 90° = 720° = 4π입니다.
(21)
각 회색 삼각형은 π/2를 포함합니다.
곡면, 리만 곡면 기하학을 즐기시나요?
우리의 둔한 원뿔로 돌아가 보면, 각도 곡률은 원형 경계 내부, 즉 일정한 곡률 밀도 영역에 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 원뿔의 측면(벽)은 유한한 곡면이 아닙니다. 원한다면 무한대로 확장할 수 있습니다. 각도 곡률의 양은 경계의 둘레나 구 부분의 면적에 의존하지 않습니다. 이 면적은 축소될 수 있습니다. 그림 (22)를 참조하세요. 심지어 한 점으로 축소되더라도 동일한 양의 각도 곡률을 포함합니다. 그래서 우리는 원뿔 꼭짓점을 집중된 곡률 점이라고 부릅니다. 반대로, 원뿔 꼭짓점들의 집합으로 매끄러운 곡면을 구성할 수도 있습니다.
물질은 원자로 이루어져 있습니다. 원자는 점과 같은 물체로 간주될 수 있습니다. 이들은 3차원 공간에서의 '집중된 곡률 점'입니다.
당신이 호흡하는 공기는 일정 밀도의 매질입니다. 분자와 원자로 이루어져 있습니다. 이는 유클리드 공간 부분들로 연결된 집중된 곡률 점들의 집합입니다. 이를 일정 곡률 매질로 간주할 수 있습니다.
다음에 호흡할 때, 이것을 생각해 보세요. .
(22)
