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네가콘.
이제 우리가 "네가콘"이라고 부를 것을 만들어 보자. 포지콘을 만들기 위해 우리는 평면에서 한 부채꼴을 제거했다. 여기서는 각도 q에 해당하는 부채꼴을 추가한다:
(30)
이 표면 위에 우리는 끈적이는 테이프로 측지선을 그릴 수 있고, 그중 세 개로 삼각형을 만들 수 있다. 각도의 합을 재어 보면 180°-q라는 것을 알게 될 것이다. 우리는 이것이 음의 곡률 집중을 정의한다고 말할 것이다.
여러분의 집에도 음의 곡률을 가진 물체가 있다. 예를 들어 어떤 의자 같은 것: (30의 2)
원판을 가져가면 그림 (31)을 얻는다:
(31)
물론, 세 측지선으로 이루어진 삼각형이 (음의) 각곡률을 모두 담고 있는 꼭짓점 S를 포함하지 않으면, 그 합은 유클리드 합인 180°가 될 것이다.
말안장.
여러분은 각도 -Dq를 가진 수많은 기본 네가콘을 만들어 이어 붙일 수 있다. 두 이웃한 꼭짓점 사이의 거리가 거의 일정하도록 그렇게 할 수 있다. 그러면 여러분은 일정한 음의 곡률 밀도 표면인 말안장을 만들게 된다. 그러나 이 표면은 결코 닫히지 않을 것이다.
일반적으로 기하학자들은 그것을 일정한 음의 곡률 표면이라고 부른다.(32)
"무딘 네가콘".
앞 절에서, 일정한 양의 곡률 밀도 표면(구의 일부)과 포지콘의 일부를 사용하여 우리는 무딘 포지콘을 만들었다.
마찬가지로 우리는 무딘 네가콘이라고 부를 것을 만들 수 있다. 우리는 말안장을 네가콘의 일부에 그들의 공통 원형 경계를 따라 이어 붙여야 한다. 접평면의 연속성을 관리하려면 말안장에 담긴 (음의) 곡률이 네가콘 제작에 관련된 음의 곡률과 같아야 한다.
필요한 네가콘의 일부를 만드는 것은 비교적 쉽다!
(33)
참고: 포지콘처럼 네가콘도 인쇄판으로 사용할 수 있다. 그러나 네가콘을 평면 위에서 굴리는 방법은 거의 보이지 않는다. 따라서 평면을 음의 곡률 판 위에서 굴리는 것이 더 쉽다.
구텐베르크는 인쇄 기술을 발명했다. 양각 무늬를 평면에 새긴다. 그런 다음 잉크를 묻히고 평면에 눌러 찍는다.
나중에 인쇄판은 신문 인쇄(윤전기)를 위해 원통으로 바뀌었다.
그러나 내가 아는 한 아무도 원뿔 인쇄를 사용하지 않았다.
모든 경우에 중요한 점은, 무엇을 하든 두 표면을 접촉시키는 것이다. 인쇄판을 움직이거나 종이(평면 표면)를 굴린다.
그림 (34)에서 보듯이 원뿔 판을 사용하여 평면에 무언가를 인쇄할 수 있다. 어떤 원뿔형 신문을 평평하게 놓은 것이다.
(34)
언젠가 아무도 그것을 사용하지 않으리라고 단정할 수는 없다. 원뿔 대칭에 해당하는 특별한 무늬가 있는 옷을 생산한다고 상상해 보라. 그런 옷을 수천 벌 생산해야 한다고 상상해 보라. 원래 무늬를 원뿔 판에 새긴 다음, 그것을 사용하여 재료나 천에 인쇄할 수 있다. 고객은 그것을 사서 "원뿔형" 옷을 만들 수 있고, 얻어진 무늬가 전체적으로 좋을 것이라고 확신할 수 있다.
그림 (35)는 음의 곡률 판으로 인쇄하면 얻는 것이다. 오른쪽에는 평평하게 놓인 네가콘이 있다.
(35)
그림 (36)은 말안장을 네가콘의 일부에 이어 붙이는 방법을 보여 준다.
그런데 여러분은 이렇게 물을 수 있다:
- 내 말안장에 담긴 음의 각곡률을 어떻게 측정할 수 있는가?
텍사스의 수학과 근처 어느 지역에서는 말안장을 사면 해당 각곡률이 함께 딸린 영수증에 표시된다. 그렇지 않으면 경계의 둘레나 면적을 이 음의 곡률 원판의 반지름으로 계산한 유클리드 값과 비교하여 해당 각곡률을 추론할 수 있다. 이것을 유익한 연습으로 생각하라.
(36)
(37)
이제 우리는 끈적이는 테이프를 사용하여 측지선을 그리고, 그림 (38)에서 보듯이 그것을 평면에 투영할 수 있다.
(38)
여느 때처럼 이 평면 투영은 우리의 "정신 세계", 플라톤 동굴의 벽을 가리킨다. 투영된 측지선의 모습은 우리에게 어떤 반발력, 예를 들어 반발 중력이 우리의 기준 물체에 작용하고 있다는 것을 의미할 것이다. 사실 모든 것은 밑에 깔린 기하학에서 비롯되어야 한다.
