a107

켤레 기하학.

이제 우리는 무딘 포지콘과 무딘 네가콘을 연관시킬 수 있다. 서로 마주 보게: 구의 일부와 말안장, 반대의 각곡률 +q와 -q를 가진다. 우리는 점 대 점 대응(단사 사상)을 가진다. 그림 (39)에는 한 쌍의 켤레점이 그려져 있다.

우리는 켤레 기하학을 점 대 점 연결을 가지며 국소 곡률 밀도가 반대인 두 기하학적 구조라고 부른다. 이것은 구의 일부와 그에 대응하는 말안장의 경우이다. 마찬가지로 포지콘의 일부가 네가콘의 일부와 마주 보는 경우에도 적용된다. 그들의 국소 각곡률 밀도는 0이다.
(39)

주름 F에서의 양의 곡률은 전적으로 구의 일부에 포함되어 있다. 포지콘의 일부는 유클리드 곡면으로, "국소적으로 평평"하다. 다른 주름 F*, 즉 켤레 주름에서는 모든 (음의) 각곡률이 말안장에 포함되어 있다. 바깥쪽에서 네가콘의 일부는 "국소적으로 평평"하며, 어떤 곡률도 포함하지 않는다.

하나의 주름이 주어지면 다른 하나를 만들 수 있다는 점에 주목하라.

일반 상대성 이론.

기본 착상은 "물질-에너지"의 국소적 내용이 국소 기하학을 결정하고, 시공간 초곡면을 형성한다는 것이다. "물질-에너지"라는 합성어는 어떤 내용이든 우주의 기하학을 결정한다는 것을 보여준다: 물질 그리고 복사. 앞선 절에서 우리는 광자가 (양의) 곡률에 기여한다는 사실을 언급했다. 오늘날 우주 배경의 기여는 무시할 만하다. 물질의 기하학에 대한 기여가 지배적이다. 그러나 먼 과거에는 상황이 반전되었다: 표준 모형에서 t < 500,000년일 때.

일반 상대성 이론의 기본 개념을 그려 보기 위해 몇 가지 교수학적 모형을 찾아보자. 정상 상태 계를 다루자. 내부 응력이 없는 평면을 고려하자. 국소 응력을 도입하면 그 기하학을 변형할 수 있다. 양의 또는 음의 장력(응력 텐서)을 도입할 수 있다. 예를 들어 플라스틱 필름을 가열하면 물집이 생긴다(양의 곡률 효과).

또한 재료에 어떤 제품을 함침시켜, 마르면 국소적 신장(음의 곡률 효과)을 일으키게 할 수도 있다.

보일러공은 사고를 당한 캔과 같은 금속 표면을 성형하기 위해 가열과 냉각을 배치하는 방법을 안다.

간단한 금속 관을 가져보자. 한쪽을 가열하고 반대쪽을 냉각하자. 무슨 일이 일어날까?
(40)

응력은 그림 (41)과 같이 관을 휘게 할 것이다.
(41)

우리는 금속에 장력을 도입했다. 이것이 수학, 재료 역학, 기하학에서 텐서라는 단어의 기원이다. 재료 역학 전문가는 응력 텐서라는 용어로 말할 것이다. 기하학자는 곡률 텐서를 언급할 것이다. 일반 상대성 이론 전문가는 기본 원리를 적용할 것이다:

국소 에너지-물질 내용
<-------> 국소 기하학

물론, 이 국소 에너지-물질 내용은 4차원 초곡면의 국소 기하학을 결정한다. 그러나 착상은 유사하다.

그것을 어떻게 쓸까? 수학자들이 텐서라고 부르는 것을 사용하여.

미분 기하학의 완전한 과정을 전개하지 않고서는 그 방향으로 더 나아가기 어렵다. 유명한 아인슈타인 방정식은:
(42)

S = c
T

c는 단순한 상수(아인슈타인 상수라고 불림)이다. 그것은 다른 두 상수의 값에 달려 있다:

• 광속 c.

• 중력 상수 G.

다음을 통해:
(42bis)

S는 기하학적 텐서이며 기하학적 특징을 담당한다.

T는 또 다른 텐서로, 우주의 국소적 내용을 기술한다. 이 텐서에서 물질 밀도 r과 압력 p를 찾을 수 있다. 그것들은 에너지 밀도로 표현된다.

r c2

은 에너지 밀도이다

그러나 p도 에너지 밀도이다. 보통 압력은 제곱미터당 파스칼로 표현한다. 그러나 제곱미터당 파스칼은 세제곱미터당 줄이기도 하다. 압력은 기본적으로 부피 에너지 밀도이다. 정상 상태 계에 대한 장

r (x,y,z)와 p (x,y,z)

는 문제의 입력을 이룬다. 이 스칼라 장들로부터 텐서 T를 만들 수 있다. 그러면 질문은 다음과 같아진다:

• 방정식 (42)를 만족하는 그러한 텐서 장 T (x,y,z)에 맞는 기하학은 무엇인가?

우주의 국소적 내용이 주어지면, 이론가는 시공간 초곡면의 국소 기하학을 만들어야 한다. 그러나 무엇을 위해?

여기서 두 번째 기본 가설이 사용된다:

• 우리 우주를 구성하는 모든 물체는 시공간 초곡면의 측지선을 따른다.

물체는 별, 행성, 원자, 광자, 소립자가 될 수 있다.

입자들은 장 방정식에서 나오는가? 전혀 아니다. 일반 상대성 이론은 그것들을 완전히 무시한다. 일반 상대성 이론 전문가에게 우주는 연속체일 뿐, 그 이상도 이하도 아니다. 입력 함수 r과 p는 우주의 거시적 기술에 해당한다. 출력인 측지선 계도 마찬가지다. 일반 상대성 이론 이론가에게 우주는 초곡면일 뿐, 그 이상도 이하도 아니다. 그는 말한다:

• 당신은 나에게 함수 r (x,y,z)와 p (x,y,z)를 주었다. 나는 당신을 위해 장 방정식을 따르는 적절한 초곡면을 만들었다. 나는 가능한 모든 경로, 즉 측지선 계를 결정했다. 그러나 나는 당신을 위해 입자를 만들 수가 없다. 미안하다. 다른 부서를 찾아보라.

요약하면: 일반 상대성 이론과 소립자 세계 사이의 다리는 아직 건설자를 기다리고 있다.

그러나 천문학자는 말할 것이다:

• 누가 신경 쓰나? 광자는 이 초곡면의 특정 측지선을 따른다고 가정된다. 그것은 작동한다: 나는 광학 장치로 사물을 관측할 수 있다. 행성도 다른 종류의 측지선을 따른다고 가정된다. 그것도 작동한다. 나는 그들의 경로를 계산하고, 수성 근일점의 세차 운동을 예측할 수 있다. 중력 렌즈 효과도 있다.

그가 옳다.

이 중력 효과에 대해 몇 마디 하자. 우선, 이 무딘 원뿔의 이미지는 단순한 교수학적 이미지이다. 예를 들어 그것은 별 주위를 도는 행성의 원형 경로를 기술할 수 없다:
(43)

이것은 단순히 교수학적 이미지의 한계를 보여준다. 그러나 우리는 이 마지막 예를 사용하여 두 측지선으로 중력 렌즈 효과를 예시할 수 있다:

(44)

아래는 공간의 정신적, 유클리드적 표상이다. 신기루 효과가 있다. 관측자는 단일 물체 대신 두 개의 "중력 신기루"를 본다.