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좌표 불변 형식론.
이것은 일반 상대성 이론의 또 다른 핵심 용어이다. 우리는 우주론자의 작업이 내부 응력으로 인해 물질의 형태를 예측하는 작업과 동등하다고 말했다. 구의 위상 구조를 가진 물체를 생각해 보자. 그것은 금속으로 만들어진 구체이다. 여기서도 뜨겁고 차가운 공기 흐름으로 그것의 형태를 만들 수 있다.
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이러한 흐름은 금속에 응력을 생성하고, 이는 형태를 변형시킨다. 물론 열이 금속 속으로 전파됨에 따라 가열과 냉각을 멈추면 구의 온도는 균일하게 돌아가고 그 모습은 다시 규칙적으로 변한다. 우리는 물질에 응력을 생성하고, 이는 기하학을 변형시킨다.
이 응력장은 T라고 불리는 텐서라는 수학적 대상으로 기술될 수 있다. 물체의 기하학은 아인슈타인 방정식과 유사한 장 방정식으로부터 계산될 수 있다.
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S = a T
여기서 a는 상수이고 S는 기하학적 특징을 기술하는 기하학적 텐서이다. 해를 "읽는" 가장 좋은 방법은 측지선 체계를 계산하는 것이다. 우리는 구의 측지선을 알고 있지만, 달걀의 측지선은 다르다. 이러한 측지선을 표현하려면 좌표계가 필요하다. 구의 경우 (q,j) 체계를 사용할 수 있다:
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이 특정 좌표계에서 구의 측지선은 특정한 형태로 표현될 수 있다. 예를 들어 곡선:
q = 상수 (자오선)
은 측지선이다. 그러나 곡선
j = 상수 (위선)
은 그 표면의 측지선 곡선이 아니다.
"달걀" 표면에도 유사한 좌표계를 정의할 수 있다. 그러나 한 가지 분명한 것이 있다: 측지선 체계는 (주어진 특정 좌표계에서의) 수학적 표현과 독립적으로 존재한다.
측지선 체계는 좌표 불변이다.
또 다른 예는 훨씬 더 간단하다. 평평한 판의 측지선을 생각해 보자. 그것들은 직선이다. 우리는 이 직선들을 직교 좌표로 기술할 수 있다:
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우리는 또한 이 측지선 집합을 극좌표로 기술할 수 있다. 그러면 방정식은 완전히 달라지지만, 그것들은 동일한 직선 집합을 가리킨다. 평평한 판의 측지선인 이 직선들은 선택된 좌표와 독립적으로 존재한다. 그것들은 좌표 불변 대상이다. 방정식은 내재적 속성이 아니다. 그것은 우리가 한 좌표계에서 다른 좌표계로 옮길 때 변하지 않는 것인가? 그렇다: 두 점 M1과 M2 사이의 측지선 경로는 변하지 않는다. 표면에 그려진 어떤 선에 대해서도 마찬가지이다. 표면, 점들, 그리고 그들을 잇는 곡선은 선택된 좌표와 독립적으로 존재한다. M1과 M2 사이의 경로 길이에 대해서도 마찬가지이다. 이것은 두 점을 잇는 특별한 선인 측지선 호에 대해서도 참이다:
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그런데 이 측지선 경로는 또한 극값 경로이기도 하다 (예를 들어 여기 표시된 가장 짧은 경로). 이것은 시공간 초곡면에 대해서도 유사하며, 그것은 자신의 측지선 체계를 가지며 역시 좌표 불변이다. 이 초곡면 위에는 대상에 속하고 선택된 좌표계와 독립적인 길이 s가 존재한다. 어려운 점은 공간과 시간이 독립적인 양이 아니라는 것이다. 우리는 점 (x, y, z)를 가진 3차원 공간에 살지 않는다. 우리는 측지선 체계에 의해 완전히 기술되는 4차원 초곡면에 속한다. 이 초곡면의 두 개의 서로 다른 점 M1과 M2를 생각해 보자. 그러한 점들은 주어진 네 개의 좌표 체계로 기술될 수 있다:
M1 ---> (x1 , y1 , z1, t1 )
M2 ---> (x2 , y2 , z2, t2 )
이 점들은 사건이라고 불린다. 우리는 그들을 잇는 측지선 곡선을 계산할 수 있다, 만약 그것이 존재한다면. 그러한 사건들은 동일하지 않다. 둘 사이에서 우리는 좌표 불변인 거리 s를 측정할 수 있다. 이 길이는 다음과 같이 불린다:
고유 시간 s
당신과 내가 우주선을 타고 시공간에 위치한 한 점 M1에서 다른 점 M2로 여행한다고 가정하자.
s는 우리의 선내 시계에서의 시간 측정값이다.
당신은 이렇게 주장할 것이다:
- 하지만 공간은 존재하지, 그렇지?
- 조심해. 우리가 공간과 "절대 시간"이라고 부르는 것의 이 정의는 임의의 선택에 해당한다. 그것들은 평평한 판에서 직선 방정식을 두 개의 다른 방정식으로 썼을 때처럼, 표면을 "읽는" 편리한 방식일 뿐이다. 변하지 않는 유일한 것, 즉 좌표 불변인 것은 또 다른 좌표 불변 대상인 측지선으로 연결된 두 사건 사이의 고유 시간 간격 Dt이다. 소위 "절대 시간" t는 다소 임의적인 연대기적 표지에 불과하다. 좌표계를 바꾸면 사건의 읽기가 바뀐다. 이 웹사이트에서 우리가 제시할 논문들에서 당신은 이것이 실제 문제임을 보게 될 것이다. 어쨌든, 당신은 물리학자와 수학자들이 텐서에 기반한 좌표 불변 형식론을 선택한 이유를 이해한다.
텐서 형식 방정식은 좌표 불변이다.
이것이 일반 상대성 이론의 정신이다. 그러나 정교한 하드웨어를 사용하지 않고는 그것에 대해 더 말하기 어렵다.
