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특이점 문제.
구 위에서 어떤 좌표계를 선택하든, 특이점을 피할 수 없다(예를 들어 두 개의 극 특이점):
(50)
구를 단 하나의 "극 특이점"으로 매핑할 수 있다는 점에 주목하라.
같은 직선을 지나는 첫 번째 평면족으로 구를 자른다:
(51)
그런 다음 구와도 교차하는 두 번째 평면족을 도입한다.
(52)
이 국소적인 혼란을 제외하면, 다른 곳에는 아무 문제가 없다.
반대쪽에서 구를 보면 다음과 같다:
(53)
그러나 S점에서는 a와 b의 값이 그냥 정의되지 않는다!
그런데 구는 기본적으로 정칙 곡면이다. 손안에서 달걀을 돌려 보라: 어떤 특이한 점도, 어떤 내재적 특이점도 발견하지 못할 것이다.
(54)
결론: 이 특이점들은 좌표 선택으로 인한 인공물이다.
이 극 특이점들은 "실재하는" 것이 아니며, 내재적 특이점이 아니다. 좌표계를 선택하면, 임의의 한 점 또는 두 점이 특이해진다. 매핑된 구의 두 특이점, 즉 북극과 남극은 좌표계 선택의 순수한 창조물, 인공물이다.
