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반대로, 표면에는 실제 내재적 특이점이 존재한다.
이들은 진정한 기하학적 특이점이다: (55)

(56)

(57)

그리고 계속해서...

그런데 주름은 선형 곡률이 집중되는 표면의 특이한 영역이다. 그림 (57)의 왼쪽에는 음의 선형 곡률이 있다. 오른쪽에는 양의 선형 곡률이 있다.

우리는 각 하위 그림에서 구의 두 부분을 사용했다. 전체 대상은 구와 같은 위상을 가지며, 이는 총 각곡률이 4π임을 의미한다.

왼쪽의 대상이 각각 3π의 각곡률을 포함하는 구의 두 부분으로 만들어졌다고 가정하자.

3π + 3π = 6π

이는 너무 많다. 그러면 최종적으로 요구되는 값 4π를 얻기 위해 (음의) 선형 곡률이 이를 균형 잡아야 한다:

결론적으로 우리의 주름은 음의 곡률을 포함한다:

• 2π.

이 곡률은 주름을 따라 원형 곡선을 따라 균일하게 분포한다.

그림 (57)로 돌아가자. 우리는 측지선으로 만들어진 삼각형을 그렸다. 그러나 (좁은) 점착 테이프로 아무 문제 없이 주름을 가로지를 수 있는 방법이 있다. 삼각형의 세 각의 합을 계산하고 예측하는 방법을 알고 있다. 삼각형의 면적을 구의 면적과 비교하기만 하면 된다. 곡률의 초과분은:
(58)

그러나 호 mn에서 주름 부분에 포함된 (음 또는 양의) 곡률을 고려해야 한다. 그것은:
(59)

그림 (57)의 오른쪽에 있는 일종의 렌즈가 각각 π의 각곡률을 포함하는 구의 두 부분으로 만들어졌다고 가정하자. 따라서 주름을 잊으면 이 구의 두 부분 집합은 2π의 각곡률을 포함한다. 그러나 이 렌즈는 회전타원체 위상을 가진다. 각곡률 기여는 2π여야 한다. 그러면:

2π + 2π = 4π
( 구의 총 곡률 )

세 개의 측지선으로 형성된 이 이상한 삼각형의 합도 예측할 수 있다. 호 mn은 선형 각곡률을 포함한다:
(60)

삼각형 내부의 주름에 포함된 각곡률의 양을 측정할 때, 유클리드 합인 π로부터의 편차를 측정할 수 있다.

표면에서 이러한 곡률 문제를 비교적 쉽게 다룰 수 있음을 알 수 있다.

표면은 원뿔점이나 주름선을 가질 수 있다. 이들은 내재적 특이점이며, 좌표 선택으로 인한 인위적 특이점이 아니다. 주름을 매끄럽게 할 수 있다는 점에 주목하자. 그러면 땅콩을 얻는다:
(61)

이는 원뿔의 점 같은 정점(집중된 각곡률)을 매끄럽게 하여 물체를 무딘 원뿔(구의 일부에 표시된 각곡률)로 변환하는 것과 유사하다.

그림 (61)의 위쪽에 있는 두 구 부분이 각각 구의 2/3, 즉 곡률을 나타낸다고 가정하자
(62)

"땅콩"의 회색 부분은 음의 곡률을 포함한다. 정확히는:

(63)