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대표 공간.

우리는 앞선 장에서 원통형이 평평하게 펼칠 수 있음을 보았다. 이제 종이 한 조각, 즉 평평한 시트를 가져오자. 이것은 유클리드 곡면이다. 그 위에 측지선을 그릴 수 있다. 이제 종이를 구겨보자.
(64)

만약 이 구겨진 표면을 강체로 만들고 그 위에 접착 테이프로 측지선을 그릴 수 있다면, 동일한 시스템을 다시 만나게 될 것이다! 표면은 실제로 변하지 않았다. 만약 어떤 거주자가 이러한 "평탄한 세계(flatland)"에 산다면, 그는 구겨지는 과정을 인식하지 못할 수도 있다. 그에게 모든 것은 정상으로 보일 것이며, 그가 오늘 살아가는 방식도 그러할 것이다. 예를 들어, 그의 2차원 시공간 표면의 측지선을 따르는 것처럼 말이다.

시트를 구김으로써, 3차원 유클리드 공간에 2차원 곡면이 내재(embeded)되는 방식, 즉 대표 시스템을 수정한 것뿐이다.

더 단순한 수정은 평평한 금속 시트를 물결 모양(corrugated) 표면으로 변형시키는 것이다. 그림 (65)를 참조하라.
(65)

많은 해 전에 나는 에티오피아 아디스아바바의 큰 시장에 있었다. 그곳에서는 금속이 희귀하다. 젊은이들이 간단한 망치를 사용하여 물결 모양의 철제 표면을 평평한 판으로 변형시키는 공장들을 볼 수 있다. 만약 그들 중 한 명이 작업 전에 측지선을 그렸다면, 측지선 체계가 변하지 않았음을 발견했을 것이다.

하지만 솔직히 말해서, 그런 사람들이 수학적인 관점에서 측지선이 무엇인지 알고 있을지 확신할 수 없다. 물론, 바구니를 만드는 사람들은 자연스럽게 측지선 라인을 사용한다.

나는 버몬트주 벌링턴과 챔플레인 호수 근처의 한 휴양 캠프에서 바구니 제작 강사를 했던 기억이 난다... 많은 해 전의 일이다.

기하학적 대상들은 그것이 더 높은 차원의 공간에서 어떻게 형상화되는지와 무관하게, 그 자체의 존재와 속성을 가지고 있음을 명심하라. 구겨졌든 아니든, 시트는 시트이며, 즉 유클리드 곡면이다.

우리는 4차원 초곡면에 살고 있다고 가정된다. 우리 모두는 같은 방식으로 살고 있다고 가정된다. 하지만 매우 매력적인 사람인 내 아내 클레어는 내가 더 높은 차원의 공간(그녀는 5차원이라고 생각한다)에 살고 있다고 확신한다. 내가 개인적인 5차원 어딘가에 머물러 있을 때, 이는 때때로 소통에 어려움을 초래한다.

하지만 여성들은 정말로 4차원 초곡면에 살고 있는가? 때로는 이에 대해 회의적이지만, 그것은 다른 주제이다.

네가 4차원 초곡면에 살고 있으며, 마치 소가 논두렁을 따라가듯 이 시공간의 측지선을 따르고 있다고 인정하라.

이제 네가 신이라고 가정하자. 이 4차원 초곡면의 완전한 표현을 원한다. 그러면 최소한 한 차원이 더 필요하다. 개인적으로, 신이 존재한다면 그는 10차원 초세계에 살아야 한다고 생각한다. 후속 논의는 기하학적 물리학 B에서 전개될 것이며, 군론에서 유래한다.

신은 군 구조를 소유하는가?

실제로, 일반 상대성 이론의 전문가는 장 방정식의 해(아인슈타인의 해)를 계산한다. 그런 다음 그는 측지선 체계를 조사한다. 그것들은 "4차원 직선"이다. 시공간에서 측지선을 따라갈 때, 일반적인 규칙은 다음과 같다:

• 똑바로 가라! 좌우로 틀지 마라.

너는 다른 것을 할 수 없기 때문에 그저 복종할 뿐이다. 시공간에서 방향을 트는 것은 무의미하다. 모든 것, 모든 존재는 "똑바로 간다".

하지만 사물, 경로, 궤적은 우리의 3차원 눈에는 굽어 보인다. 우리는 우리 정신적 공간 표현 속에서 그것을 읽는다. 우리는 플라톤의 동굴 벽을 마주하고 춤추는 3차원 그림자를 바라보고 있다.

우리의 2차원 교육적 이미지, 즉 둔원뿔로 돌아가 보자. 그것은 질량 집중(회색 영역) 근처의 공간을 형상화한 것으로 가정된다. 우리는 이것이 정상 상태(steady-state)에 해당한다고 가정한다.

우리는 공간 마커(3차원에서)로 구면 좌표 (r, θ, φ)를 사용할 수 있다. 2차원에서는 두 개만 있다: (r, θ).

그런 다음 그림을 평면에 투영하고 동일한 극좌표 집합을 사용할 수 있다. 다음 그림을 참조하라.

(66)

위에서 언급했듯이, 둔원뿔 표면은 슈바르츠실트가 1917년에 구축한 아인슈타인 장 방정식의 특수한 해를 암시하는 조악한 교육 모델이다.

(67)

S = c T

이것은 Brilliant하고 영리한 작업이다. 그 당시 알베르트 아인슈타인이 사막의 외딴 섬에 갇힌 고독한 천재가 아니었다는 것을 말하기 위해서다. 많은 사람들은 위대한 독일 수학자 힐베르트가 "아인슈타인 방정식"을 발명했다고 생각한다. 다른 일부는 아인슈타인 부인이 푸앵카레와 로렌츠의 작업에서 자연스럽게 도출되는 특수 상대성 이론의 구축에 효율적으로 기여했을 수 있다고 제안했다(아인슈타인의 저작을 보면, 그는 다른 사람들의 연구를 거의 언급하지 않는다는 것을 알 수 있다).

슈바르츠실트의 해는 일반 상대성 이론의 이정표이다. 이는 태양 주위의 행성들의 상대론적 궤적을 계산하는 데 사용되며, 수성의 근일점 세차운동을 입증한다.

누구라도 즉시 이렇게 말할 것이다:

• 슈바르츠실트는 왜 그것을 스스로 계산하지 않았는가?

거기에는 매우 좋은 이유가 있었다: 그는 죽었다.

슈바르츠실트는 애국자였고 1917년에 전선으로 가기를 고집했다. 그곳에서 그는 독가스를 마셨고 나중에 사망했다. 아인슈타인은 작업을 계속했고, 이는 "아인슈타인 이론"이 되었다.

그것은 정상 상태 해였다. 나중에 아인슈타인은 곡률이 에너지-물질 함량과 동일시될 수 있는 우주 모델을 구축하려고 시도했다. 하지만 당시에는 아무도 우주가 정상 상태가 아니라는 것을 알지 못했다. 알베르트는 정상 상태 모델을 구축하려고 했지만, 상황이 그리 좋지만은 않았다. 그러자 그는 위대한 프랑스 수학자 엘리 카르탕을 방문했고, 카르탕은 장 방정식에 상수를 추가할 것을 권고했으며, 아인슈타인은 그렇게 했다.

그런 다음 프리드만이라는 러시아 글라이더 조종사가 정상 상태가 아닌(non-steady) 해를 발명했다. 거의 같은 시기에 에드윈 허블은 적색 편이와 우주의 정상 상태가 아닌 특성을 발견했다. 아인슈타인은 매우 실망하며 이렇게 말했다:

• 만약 내가 우주가 정상 상태가 아니라는 것을 알았더라면, 프리드만보다 먼저 해를 찾았을 것이다!

"만약에"라고 라케다이몬 사람들이 말하곤 했다.

하지만 그 이야기는 거기서 끝나지 않았다. 처음에 프리드만은 "프리드만 모델"을 구성하는 세 가지 중 하나인 순환 해를 구축했다.

아인슈타인은 수년간 침묵을 지켰다. 그러다가 프리드만의 사망 후, 그는 "아인슈타인-드 시터 모델", 즉 "포물선형 프리드만 해"를 출판했다.

이후 칼루자라는 젊은 폴란드 연구자가 "에인슈타인 교수"에게 논문을 제출했으나, 1년 넘게 출판 거부를 당했다. 칼루자는 아인슈타인에게 불평했고, 아인슈타인은 이렇게 답했다:

• 너는 이 이론을 더 자세히 살펴봐야 한다. 나는 회의적이다.....

많은 해가 지난 후, 칼루자의 아이디어(시공간에 5차원을 추가하는 것)는 초끈 접근법을 포함한 고급 연구의 출발점이 되었다. 기하학적 물리학 B를 참조하라.

음, 알베르트는 그렇게 스포츠맨다운 사람이 아니었다......

태양 주위의 시공간 기하학에 해당하는 정상 상태 3차원 모델로 돌아가자. 계산은 평면에 위치한 측지선을 제공한다. 곡률 효과가 적고 빛의 속도 c에 비해 속도가 작다면, 대표 유클리드 시공간에서의 그들의 투영은 준케플러 경로와 케플러 법칙에 해당한다. 우리는 시간을 잊고 극좌표를 사용하여 평면에서 이 측지선을 형상화할 수 있다.

r = f (θ).

슈바르츠실트 해에서는 실제로 그림 (68)에 언급된 바와 같이 연결된 두 개의 "계량 해"가 있다. "질량 있는 천체" 내부에서는 질량 밀도 ρ가 상수라고 가정된다. 그곳에서는 에너지-물질 텐서 T가 0이 아니다. 하지만 외부에서는 ρ와 T가 0이다.

(68)

이것은 복합 기하학이다. 3차원에서 질량 밀도는 "질량 집중"의 표면(구라고 가정됨)에서 갑작스러운 불연속성을 보인다. 이것은 표면에서의 각도 곡률 밀도의 불연속성과 유사하다(회색 영역에서는 0이 아니고, 외부에서는 0이다. 경계는 S1 구, 즉 ... 원이 된다).

4차원에서는 측지선의 연속성을 보장하기 위해 수학적 연결을 구축할 수 있다. 이것은 구 부분과 포사콘(posicone) 부분의 연결 부분과 유사하다.

질량이 중요해지면(우리의 조악한 2차원 교육 모델로는 설명할 수 없는 경우), 닫힌 경로는 더 이상 타원형이 아니다.

그림 (69)를 참조하라. 이 그림은 중성자별 주위의 우주선 궤적에 해당한다.

태양 주위의 수성 궤적은 유사하지만, 타원 경로의 근일점 세차운동은 세기당 0.15°이다.

(69)

언젠가 우리는 그 문제를 가지고 놀 수 있게 해주는 공식과 프로그램을 포함시킬 것이다. 그것은 매우 어렵지 않다.

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