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기하학적 맥락.

구는 2차원 기하학적 대상이다. 구 위의 한 점을 지정하려면 두 개의 양, 두 개의 수, 두 개의 스칼라가 필요하다.

구는 위상을 지닌 곡면이다. 그 위상은 토러스의 위상과 다르다.

둘 다 측지계를 지닌다. 앞 절에서 지적했듯이, 우리는 구 위의 두 개의 서로 다른 점 M1과 M2, 그리고 그들을 잇는 곡선을 상정할 수 있다. 그런 다음 이 특별한 경로를 따라 길이를 측정할 수 있다. 그것은 좌표 불변량이다. S2-구는 어떤 3차원 대표 공간과도 독립적으로 존재한다. 그러나 우리는 그것을 우리가 살고 있다고 가정되는 친숙한 유클리드 3차원 공간 속에서 상정할 수 있다. 그런 다음 이 구에 중심을 부여하고 그 모든 점을 중심에 연결할 수 있다. 그림 (116)을 보라. 각 점은 두 개의 각도, 즉 q와 j에 대응한다.
(116)

우리는 벡터 OM을 보여주기 위해 구에 구멍을 하나 뚫었다. 여기서 O는 중심이고 M은 구 위의 한 점이다.

이제 그림 (117)에서는 벡터를 유지하고 구는 잊어버린다.

(117)

이 반직선들은 무한하지만, 우리는 이것들을 우리 구의 반지름 R에 해당하는 주어진 길이에서 잘라서 그렸다. 각 직선은 한 쌍 (q, j)에 대응한다. 계량 구조는 사라졌다. 측지선도, 길이도 없다. 무엇이 남는가?

그 반직선들 중 어느 것이든 이웃들을 가지며, 그 이웃들이 그것의 근방을 형성한다. 각 반직선은 일련의 원뿔들 속에 둘러싸인 것으로 상정할 수 있다(그림 (118)).

(118)

어떤 직선 주위에도 우리가 원하는 만큼 많은 원뿔의 선들을 둘 수 있다. 이 원뿔들 중 둘 사이에는 언제나 또 하나를 둘 수 있다. 이것은 직관적으로 미분가능성의 개념을 암시한다. 그러한 기하학적 대상에는 불연속이 없다.

이제 구는 잊고 평면을 택하자. 그것은 점들의 집합이다. 내가 어떤 좌표계를 선택하든, 나는 그 점들을 두 개의 양, 즉 (x,y), (r,q) 등으로 정의할 수 있다.

한 쌍의 실수. 이것들은 R2에서, 즉 (3,8705 , - 17,56)처럼 실수들의 집합에서 골라진다.

어떤 실수 쌍 (x ; y)이든 무한한 수의 이웃 (x + Dx ; y + Dy)을 가진다.

이러한 "전(前)계량적" 대상들은 수학자들에 의해 다양체라고 불린다.

그런 "유연한" 매질을 생각하기란 꽤 어렵다. (119)에서 우리는 계량적 성질을 지닌 단단한 평면과, 그 아래에 그 점들의 그림자를 그렸다.

(119)

그림자는 고유한 형태도, 폭도 없다. 그것은 스크린과 광선 생성에 달려 있다. 그림 (120)에서 우리는 대상에 대한 그림자의 상대성을 암시한다.

(120)

이 "평행선들"은 구의 점들을 그 중심에 연결하기 위해 우리가 도입한 그 광선들과 유사하다. 여기서는 평면의 점들이 무한대에 있는 "광원"에 "연결"되어 있다.

직선이라는 이 마지막 개념은 버리자. 삶은 스파게티 한 묶음을 생각하자(삶지 않았다면 단단하고 부러지기 쉬울 것이다). 우리는 그것을 구부릴 수 있다. 그러나 우리는 스파게티가 서로 붙어 있도록 강제한다. 그들의 이웃 관계는 변형되어서는 안 된다.

(121)

이 모든 것이 매우 조잡하고 완전히 엄밀하지 않다는 것을 나는 안다. 나는 단지 독자에게 다양체, 즉 계량이 없고 주요 성질이 모든 점이 이웃을 가진다는 것인 기하학적 대상이 무엇일 수 있는지 암시하려 할 뿐이다.

다양체는 점 m들의 집합이다. 나는 다양체의 모든 점을, 계량적 성질과 길이 등을 지닌 실제 곡면들에 속하는 한 쌍의 점 (M1 , M2)에 연관시킨다고 상상할 수 있다....

나는 n차원 다양체를 뼈대-다양체라 부르고, 연관된 n차원 곡면들은 그저 겹이라 부른다. 그런 다음 나는

다양체의 이중 겹 덮개를 구성한다.

그림 (122)에서 다양체 m2(2차원)의 이중 겹 덮개를 보라.

(122)

(122)에서 나는 동일한 계량을 지닌, 동일하고 평행한 유클리드 겹(평면)들을 그렸다. 그러나 나는 그림 (123)을 구성할 수 있다:

우리는 M과 M*를 켤레점이라 부를 것이다. "뼈대 다양체"로부터 이 두 겹을 구성하는 것은 분명한 의미를 지닌다. 겹 F의 모든 점 M에 우리는 오직 하나의 켤레점 M*를 연관시킬 수 있다. 점 대 점 사상이 존재한다. 그런 다음 우리는 뼈대-다양체를 잊을 수 있다.

겹 F의 어떤 점의 근방에는 그 켤레점 M*의 근방이 대응한다. 그림 (124)를 보라. 이것은 F의 어떤 정칙 영역에도 F*에 속하는 켤레 정칙 영역이 대응한다는 것을 의미한다.
(124)

이것은 특히 켤레점 M과 M*가 동일한 좌표 집합으로 기술된다는 것을 보여준다.