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켤레 곡률.

국소적으로 양의 곡률 또는 음의 곡률을 갖는 3차원 공간을 어떻게 이해할 수 있을까?

2차원 곡면에서 시작하자. 구를 하나 생각하고, 그림 (125)에 나타난 것처럼 그 위 어딘가에 못을 박아 고정한다. 길이가 L인 끈을 그 못과 연필에 연결한다. 이것을 이용하여 구의 평행선인 원을 그릴 수 있다. 구의 평행선이란 주어진 점 S로부터 같은 거리 L에 놓인 점들의 집합이다.

비슷한 작업을 할 수 있다(그림 (125)):

• 말안장 위에서

• 평면 위에서.
  (125)

평면 위에서 둘레는 2πL이고 원판의 면적은 πL²이다.

구 위에서는 원판의 둘레와 면적이 더 작다. 말안장 위에서는 반대로 더 크다.

구를 하나 생각하고, 그 적도와 일치하는 평행선을 생각하자. 그림 (126)을 보라. 값들은 그림 (126)에 해당한다.

(126)

원판의 면적은 구의 해당 (회색) 부분보다 3.875배 더 크다. 그 둘레는 적도의 길이보다 1.57배 더 길다.

비슷한 시험은 말안장의 음의 곡률을 보여 줄 것이다. 말안장 위에서 주어진 점으로부터 같은 거리 L에 있는 점들의 집합인 닫힌 곡선을 그리면, 이 음의 곡률 원판의 면적은 평평한 원판 πL²의 면적보다 더 크다. 마찬가지로 음의 곡률 원판의 둘레는 평평한 원판의 둘레 2πL보다 더 크다.

기하학은 눈먼 자를 위한 과학이다. 기하학자들은 주어진 공간의 거주자들이 스스로 그 기하학적 성질을 발견하기 위해 수행할 수 있는 시험을 만들려고 한다. 앞의 그림들로부터, 2차원 곡면의 거주자들은 (그 안에 살기 때문에) 그 곡면을 외부 관점에서 볼 수 없지만, 면적과 길이 측정을 통해 그들이 사는 곡면의 부분이 양의 국소 곡률, 음의 국소 곡률, 또는 영의 국소 곡률(유클리드 공간)을 갖는지 발견할 수 있을 것이다.

국소 곡률이 양일 수도, 영일 수도, 음일 수도 있는 곡면들이 있다는 점에 주목하라. 예: 원환면.

(126ter)

비슷한 방법이 3차원 공간에도 적용된다. 어딘가에 점 O를 고른다. 끈과 "연필"을 가지고, 고려된 점으로부터 주어진 거리 L에 위치한 점들의 집합을 그린다. 구를 얻고 그 면적을 측정할 수 있다. 이 곡면이 유클리드 3차원 공간에 만들어진 것이라면, 이 면적은 4πL²일 것이다.

이 면적이 더 작게 나온다면, 이 3차원 공간은 유클리드 공간이 아니라는 뜻이다. 그것은 양의 곡률을 갖는 리만 3차원 공간이다. 부피를 측정하면 그것이 다음보다 작다는 것을 알게 될 것이다:

(127)

음의 곡률을 갖는 3차원 공간을 다룰 경우 상황은 뒤집힌다. 고정된 점 O로부터 주어진 거리 L에 위치한 점들의 집합으로 간주되는 구의 면적은 4πL²보다 더 클 것이다. 그 닫힌 곡면 내부의 부피는 (127)보다 더 클 것이다.

우주론은 단순한 3차원 공간이 아니라 ("쌍곡적 부호"를 갖는) 4차원 초곡면에 기초하므로, 그러한 제시는 제한적이다. 우리는 그것을 조잡한 교수학적 모형으로 간주해야 한다.

n차원 공간의 리만 스칼라 곡률은 다소 다르다.

우리의 현재 우주론적 모형에서, 우리는 켤레점 (M, M*)에서의 국소 스칼라 리만 곡률이 반대라고 가정할 것이다:(127bis)

R* = - R

전문가는 논문에서 더 자세한 내용을 찾을 수 있을 것이다:

J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics.
2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics
A , 5 , march 1998.

다음은 그림 39에 해당하는 유용한 2차원 교수학적 이미지이다.

(128)

위: 매끄럽게 다듬어진 포지콘. 포지콘의 부분에서 영의 국소 (각) 곡률. 구의 (회색) 부분에서 일정한 양의 (각) 곡률 밀도.

아래: "매끄럽게 다듬어진 네가콘". 말안장을 둘러싼 네가콘의 부분에서 영의 국소 (각) 곡률 밀도. 구의 부분을 마주 보는 말안장의 부분에서 일정한 음의 (각) 곡률 밀도.

곡률들은 켤레이다. 점 대 점 대응을 갖고 서로 마주 보는, 포지콘과 네가콘의 영의 국소 곡률 부분들.

점 대 점 대응을 갖고 서로 마주 보는, 일정한 양의 곡률 곡면(구의 부분)과 음의 곡률 곡면(말안장). 곡률 밀도는 크기가 같고 부호가 반대이다. 원형 경계들은 점 대 점으로 연결된다.

이것은 우리 우주론적 모형의 교수학적 이미지이다. 더 많은 수학적 세부 사항은 다음을 보라:
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics.
1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation.
Geometrical Physics A, 4 , march 1998.