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측지선에 대한 개념.
...다음에 설명할 내용은 모두 두 차원의 표면에 국한됩니다. 독자가 이 글을 읽기 전에 약간의 도구를 준비하는 것이 좋습니다. 실제로 몇 가지 실험을 통해 손으로 직접 느껴야 이해할 수 있는 것이 있기 때문입니다. 따라서 다음과 같은 도구가 필요합니다:
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브리스톨지나 약간 두꺼운 종이.
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가능한 한 색깔이 있는 테이프.
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가위.
...상점에서 판매되는 "직물 테이프"는 특히 편리하며, 원하는 폭의 띠로 쉽게 펼쳐낼 수 있다는 장점이 있습니다.
...자동차의 차체와 같은 표면을 선택해 보세요. 이 표면에 테이프를 붙일 때, 주름이 생기지 않도록 하고, 항상 표면에 완전히 붙도록 조정해 보세요. 이렇게 하면 차체 표면의 측지선을 그릴 수 있습니다.
...만약 평평한 표면 위에서 이 작업을 수행한다면, 그 결과는 직선이 됩니다. 즉, 평면에서의 측지선은 직선입니다.
...이 평면, 즉 유클리드 공간 위에서 세 개의 측지선을 이용해 삼각형을 그릴 수 있으며, 이 삼각형의 세 내각의 합은 180도가 됩니다.
포지코네.
이제 '포지코네'를 만들어 봅시다. 이를 위해 각도 q를 가진 부분을 자르고, 그림과 같이 표면을 다시 붙입니다.
...테이프를 이용해 두 개의 측지선 삼각형을 그립니다. 하나는 포지코네의 꼭짓점 S 밖에 있고, 다른 하나는 꼭짓점 S를 포함합니다. 각 삼각형의 내각의 합을 측정해 보면, 꼭짓점 S를 포함하지 않는 삼각형의 내각의 합은 여전히 180도인 반면, 꼭짓점 S를 포함하는 삼각형의 내각의 합은 180도 + q가 됩니다.
이 사실을 확인하려면, 이 '포지코네'를 다시 열어 평평하게 펴면 됩니다. 그러면 다음과 같은 모양이 됩니다:
...이제 쉽게 확인할 수 있듯이, 직선 AH와 H'B는 각도 q를 이룹니다. 실험적으로도 확인할 수 있듯이, 원뿔 표면 위의 측지선은 평평하게 펼쳤을 때 평면상의 직선이 됩니다. 이는 원뿔이 전개 가능한 표면임을 의미합니다. 원기둥도 마찬가지입니다.
...전개 가능한 표면은 평면 위에서 굴릴 수 있는 표면이기도 합니다(단, 음의 곡률을 가진 전개 가능한 표면의 경우 몇 가지 주의가 필요합니다. 나중에 자세히 설명하겠습니다).
...지방 펜으로 원뿔이나 원기둥 위에 측지선을 그린 후, 이 '형틀'을 이용해 평면 위에 인쇄하면, 그 결과는 직선이 됩니다. 반대로, 평면 위에 지방 펜으로 직선을 그린 후, 원뿔이나 원기둥 위에 굴려 인쇄하면, 그 결과는... 측지선이 됩니다.
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