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곡률(양의).
...우리가 평면 위에 지오데식선으로 이루어진 삼각형을 그렸을 때, 그 내각의 합은 π였다. 평면은 곡률이 없는 평평한 유클리드적 표면이다. 따라서 이 삼각형의 내각 합은 유클리드적 합이 된다. 이전 실험에서 우리는 삼각형이 원뿔의 꼭짓점 S를 포함하지 않으면 내각의 합은 여전히 유클리드적임을 보았다. 그러나 삼각형이 꼭짓점 S를 포함하면, 그 합은 항상 일정한 초과량 q를 보이게 된다. 이는 삼각형의 크기나 모양과 무관하게 해당 점을 포함하는 한 항상 성립한다. 우리는 원뿔의 꼭짓점을 집중된 곡률점이라고 부른다.
...이제 다른 실험으로 넘어가 보자. 두 개의 원뿔을 각각 q₁와 q₂의 절단을 이용해 만들어, 이 두 표면 요소를 서로 붙일 수 있다.
...더 간단한 방법은 브리스톨지에 두 번의 절단을 하고, 다음과 같은 표면을 만드는 것이다:
이 표면 위에 원하는 만큼 지오데식 삼각형을 그릴 수 있다:
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S₁과 S₂ 둘 다 포함하지 않는 경우: 내각의 합 = π
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S₁만 포함하는 경우: 내각의 합 = π + q₁
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S₂만 포함하는 경우: 내각의 합 = π + q₂
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S₁과 S₂ 둘 다 포함하는 경우: 내각의 합 = π + q₁ + q₂
...작은 각도 Δq를 가진 많은 수의 미소 원뿔을 만들어 이를 서로 붙일 수 있음을 쉽게 상상할 수 있다. 또한 각각의 미소 원뿔의 꼭짓점에 대응하는 Δq의 합을 곡률로 간주함으로써, 표면 단위당 일정한 곡률 밀도를 가지도록 만들 수 있다.
...이 미소 원뿔들을 점점 더 작게 만들고(그에 따라 연결된 기본 각도 Δq도 작게), 이를 이용해 일정한 곡률 밀도를 가진 표면의 일부를 구성할 수 있다.
구는 일정한 곡률 밀도를 가진 표면이다. 더 간단히 말해 국소 곡률이 일정한 표면이다.
계란은 곡률 밀도가 변하는 곡면이다. 더 간단히 말해 국소 곡률이 변하는 표면이다.
...일반 상대성 이론은 부피 밀도 ρ와 국소 곡률을 동일시한다. 물론 일반 상대성 이론은 두 차원이나 세 차원의 표면을 다루는 것이 아니라, 네 차원의 초표면을 다룬다. 따라서 위의 설명에 대해 지나친 기대를 하면 안 된다. 다만 이 그림들은 개념을 이해하는 데 도움을 주는 교육적 이미지일 뿐이다. 그러나 그 정도는 충분히 의미 있는 것이다.
천체에 대한 2차원 교육용 이미지.
태양과 같은 천체는 물질의 집합체이며, 그 주변은 공백이거나 적어도 거의 진공 상태(즉, 매우 낮은 곡률을 가진 영역)로 둘러싸여 있다. 두 차원에서의 교육용 이미지는 둥글게 다듬어진 원뿔이 된다.
...둥글게 다듬어진 원뿔은 두 요소로 구성된다: 일정한 곡률(또는 "일정한 곡률 밀도")을 가진 구면 캡과 원추의 단면이다. 이 원추 단면은 "평평한" 상태이며, 곡률 밀도는 0이다. 이는 유클리드적 표면이다. 즉, 일정한 부피 밀도 ρ를 가진 천체의 2차원 교육용 이미지이다.
...여기서 자연스럽게 묻게 되는 질문은, 원추 단면과 구면 캡을 완벽하게 연결하여 접선이 연속되도록 하는 방법은 무엇인가 하는 것이다.
...이것은 간단하다. 원추 단면은 원뿔에서 만들어지며, 이 원뿔은 각도 q의 절단을 필요로 한다. 구면 캡에는 일정한 "곡률의 양"이 포함되어 있으며, 이 또한 각도로 표현된다. 이는 구면 캡을 구성하는 모든 미소 원뿔의 각도의 합이다. 따라서 두 각도는 서로 같아야 한다.
그러나 주어진 구면 캡에 포함된 곡률의 양은 어떻게 평가할 수 있을까?
../../../bons_commande/bon_global.htm ...
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